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Sia $ V $ il volume di un poliedro circoscritto a una sfera di raggio $ R $. Quanto vale la sua superficie totale $ S $?

Vale per caso $ \frac{3V}{R} $???
Nella remota ipotesi sia giusto, lascio volentieri il compito a qualche volenteroso di darne la dimostrazione

Viene anche a me.

Vediamo un po':

Dividiamo il poliedro in piramidi, che hanno come base una faccia del poliedro e come vertice il centro della sfera.
Poiché il poliedro è circoscritto, ogni sua faccia è tangente la sfera, dunque l'altezza di ogni piramide coincide con un raggio della sfera.
Chiamate $ S_1,\ldots,S_n $ le aree delle facce del poliedro, abbiamo che $ V=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{S_iR}{3}=\dfrac{R}{3}\sum_{i=1}^nS_i=\dfrac{SR}{3} $
Dunque $ S=\dfrac{3V}{R} $

ci sarebbe il piccolo particolare di dimostrare che un poliedro circoscritto ad una sfera è convesso... altrimenti il volume non può essere scomposto come dici.

La stessa cosa vale per perimetro e area di un poligono circoscritto a un cerchio!

e anche in quel caso va dimostrato che è convesso, sebbene sia più facile.