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Sia fissato $ n \in \mathbb{N}_0 $ e dei numeri complessi $ a_0,a_1,...,a_n \in \mathbb{C} $ tali che il polinomio $ \displaystyle p(x):=\sum_{i=0}^n{a_ix^i} $ ha tutte radici di modulo 1.

Mostrare che il polinomio $ \displaystyle g(x):=\sum_{i=0}^n{(2i-n)a_ix^i} $ ha tutte radici di modulo 1.


Ps. Editato il testo, grazie a ma_go per la correzione, ultimamente salto sempre qualche pezzo

hm.. e gli a_n che c'entrano, in tutto ciò?

Qualche spunto/riflessione per chi volesse approfondire (il problema, secondo me, e' interessante).
Essendo le radici di modulo unitario, per le formule di Viete che legano i coefficienti e le radici di un polinomio, si ha che a_k = a'_{n-k} (1), dove a' e' il complesso coniugato di a.

Si puo' verificare che g(x) = -np(x) +2yp'(x), dove p'(x) e il polinomio derivata di p(x).

Per questo polinomio, come si puo verificare tenendo conte delle (1), se r*e^(j*phi) e' una radice anche 1/r*e^(j*phi) lo e'.

Abbiamo quindi:

n*p(r*e^(j*phi)) = 2r*e^(j*phi)p'(r*e^(j*phi))

e

n*p(1/r*e^(j*phi)) = 2*1/r*e^(j*phi)p'(1/r*e^(j*phi))



Da queste due si ha che q(r*e^(j*phi))/q(1/r*e^(j*phi)) = r^2, dove q(x) = p(x)/p'(x).

Abbiamo quindi che il rapporto di due numeri complessi e' un numero reale.