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[Maioc92]

ecco un problema carino che spero non sia già stato postato. In ogni caso se lo conoscete già lasciatelo agli altri ok?

Dati i numeri reali positivi $ a_1,b_1 $ costruiamo le successioni definite per ricorrenza
$ \displaystyle a_{n+1}=a_n+\frac 1 {b_n} $ e $ \displaystyle b_{n+1}=b_n+\frac 1 {a_n} $
Dimostrare che $ a_{25}+b_{25}>10\sqrt 2 $

[dario2994]

Scusate se non posto la dimostrazione ma sono su un computer di un internet point (con tastiera non italiana)... in ogni caso ho concluso solo che il valore minimo di
$ a_{25}+b_{25} $
e' uguale a K(25) con
$ K(1)=2 $
$ K(n+1)=K(n)+\frac{4}{K(n)} $
Il problema e´ che anche dopo aver rimuginato sulla funzione per 2 ore non sono in ogni caso riuscito a valutare K(25) o a minorarlo (cioe' ci sono riuscito ma solo per dire che e' maggiore di $ \frac{5+\sqrt{389}}{2} $ che non basta perche' e' minore del valore richiesto...).
Se qualcuno conosce un modo per rendere in formula chiusa quella funzione non esiti a postare... che poi scrivo tutta la dimostrazione tra 2 giorni.

p.s. mi scuso per gli accenti :(

EDIT: forse ho trovato un modo di concludere; dimostro che $ K(n)\ge\sqrt{8n} $ per tutti gli n maggiori di 2. La mia idea era di farlo per induzione, ma mi spunta un interessante polinomio di sesto grado... che puo' essere solo preso a capocciate per quanto mi risulta xD
L´ unico modo che mi e' venuto in mente sfrutta un lemma che non so neppure se e' vero:

Dato un polinomio P(x) a coefficienti reali col coefficiente del grado maggiore positivo e tutti gli altri negativi, se un z reale maggiore di 1 soddisfa P(z)>0 allora P(k) e' positivo per tutti i k maggiori di z.

Se qualcuno sa come dimostrare questo (sempre che sia vero xD) ho concluso.

p.p.s Bellissimo problema ;)

[dario2994]

Dopo il monologo delirante precedente scrivo un nuovo post con la dimostrazione rigorosa:

Lemma 1
$ \displaystyle a+b=m\Rightarrow min\{m+\frac{m}{ab}:a\in\Bbb{R}_{+}\}=m+\frac{4}{m} $
Dato che m è fissato posso riscrivere come
$ \displaystyle m+m\cdot min\{\frac{1}{ab}\} $
Che sarebbe come massimizzare ab che ovviamente è noto essere soddisfatto da a=b.
Riscrivo sostituendo:
$ \displaystyle m+m\cdot\frac{1}{(m/2)^2}=m+\frac{4}{m} $

Lemma 2
$ \displaystyle 2\le m<n\Rightarrow m+\frac{4}{m}<n+\frac{4}{n} $
Prima di tutto porto in LHS e faccio il minimo comune multiplo:
$ \displaystyle m^2n+4n-mn^2-4m<0 $
Poi fattorizzo:
$ \displaystyle mn(m-n)-4(m-n)<0 $
Divido per m-n che però è negativo per ipotesi e cambia il verso della disuguaglianza:
$ \displaystyle mn-4>0\Rightarrow mn>4 $
Che è ovviamente sempre vero per m maggiore o uguale a 2.


Lemma 3
$ \displaystyle min\{x+\frac{4}{x}:x\in\Bbb{R}_{+}\}=4 $
Sfrutto AM-GM per dimostrare:
$ \frac{x^2+4}{2}\ge\sqrt{4x^2}=2x $
Ora moltiplico da entrambe le parti per 2/x mantenendo vera la disuguaglianza:
$ \frac{x^2+4}{x}=x+\frac{4}{x}\ge4 $
Ora basta che trovo le x che realizzano 4:
$ x+\frac{4}{x}=4\Rightarrow x^2-4x+4=0 $
Quest'ultima equazione è il quadrato di un binomio:
$ (x-2)^2=0 $
Che ovviamente ha come unica soluzione 2.
Perciò x=2 realizza il minimo che è uguale a 4.


Chiamo $ K:\Bbb{N}\to\Bbb{Q} $ la funzione tale che:
$ K(n)=a_n+b_n $
Quindi il problema si riconduce a dimostrare $ min\{K(25)\}>10\sqrt{2} $.
Sfruttando le ricorsioni date per ipotesi riscrivo K come:
$ K(n+1)=K(n)+\frac{K(n)}{a_nb_n} $
Ora dimostro per induzione che la funzione K che minimizza è $ K(n+1)=K(n)+\frac{4}{K(n)} $ con K(1)=2:

Passo base: K(2) è minimizzato per il lemma 1 da $ K(2)=K(1)+\frac{4}{K(1)} $ che a sua volta assume valore minimo per K(1)=2 per il lemma 3. E perciò rispetta.
Passo induttivo: K(n+1) è minimizzato da $ K(n+1)=K(n)+\frac{4}{K(n)} $ che a sua volta per il lemma 2 assume valore minimo per K(n) minimo che (per passo d'induzione precedente) è realizzato da $ K(n+1)=K(n)+\frac{4}{K(n)} $

Ora devo dimostrare che data la funzione K:

$ K(1)=2 $
$ K(n+1)=K(n)+\frac{4}{K(n)} $
$ K(25)>10\sqrt{2} $

Per farlo dimostro per induzione il lemma $ K(n)>\sqrt{8n}\ \forall n>2 $.

Passo base: Per n=3 basta che svolgo il calcolo: $ K(2)=4\Rightarrow K(3)=4+\frac{4}{4}=5 $ da cui scrivo $ 5>\sqrt{24} $ che si dimostra elevando al quadrato.
Passo induttivo: Sapendo $ K(n)>\sqrt{8n} $ posso scrivere :
$ K(n)^2>8n $
Da cui continuo aggiungendo quantità da entrambe le parti:
$ K(n)^2+8+\frac{4}{k(n)^2}>8n+8 $
Ora estraggo la radice da entrambe le parti:
$ K(n)+\frac{4}{k(n)}>\sqrt{8n+8}\Rightarrow K(n+1)>\sqrt{8(n+1)} $
Che è la tesi.

Si conclude facilmente sfruttando l'ultimo lemma dimostrato:
$ K(25)>\sqrt{25*8}=10\sqrt{2} $

p.s. Problema a mio parere bellissimo ;)

[Maioc92]

ti piace scrivere per lemmi vero?
Comunque direi che è giusto. Sul fatto che il problema sia bello sono d'accordo, l'ho postato per questo, anche perchè la difficoltà sta tutta nell'ultima fase della dimostrazione, quella in cui hai la successione per ricorrenza e devi concludere. Come hai fatto tu bisogna sfruttare il fatto che la disuguaglianza è stretta e quindi non ci serve conoscere il minimo esatto, cosa che anch'io ci ho messo un po' a capire. Comunque non nego che in gara avrei fatto i calcoli fino ad arrivare a 25!!!