Dopo il monologo delirante precedente scrivo un nuovo post con la dimostrazione rigorosa:
Lemma 1
$ \displaystyle a+b=m\Rightarrow min\{m+\frac{m}{ab}:a\in\Bbb{R}_{+}\}=m+\frac{4}{m} $
Dato che m è fissato posso riscrivere come
$ \displaystyle m+m\cdot min\{\frac{1}{ab}\} $
Che sarebbe come massimizzare ab che ovviamente è noto essere soddisfatto da a=b.
Riscrivo sostituendo:
$ \displaystyle m+m\cdot\frac{1}{(m/2)^2}=m+\frac{4}{m} $
Lemma 2
$ \displaystyle 2\le m<n\Rightarrow m+\frac{4}{m}<n+\frac{4}{n} $
Prima di tutto porto in LHS e faccio il minimo comune multiplo:
$ \displaystyle m^2n+4n-mn^2-4m<0 $
Poi fattorizzo:
$ \displaystyle mn(m-n)-4(m-n)<0 $
Divido per m-n che però è negativo per ipotesi e cambia il verso della disuguaglianza:
$ \displaystyle mn-4>0\Rightarrow mn>4 $
Che è ovviamente sempre vero per m maggiore o uguale a 2.
Lemma 3
$ \displaystyle min\{x+\frac{4}{x}:x\in\Bbb{R}_{+}\}=4 $
Sfrutto AM-GM per dimostrare:
$ \frac{x^2+4}{2}\ge\sqrt{4x^2}=2x $
Ora moltiplico da entrambe le parti per 2/x mantenendo vera la disuguaglianza:
$ \frac{x^2+4}{x}=x+\frac{4}{x}\ge4 $
Ora basta che trovo le x che realizzano 4:
$ x+\frac{4}{x}=4\Rightarrow x^2-4x+4=0 $
Quest'ultima equazione è il quadrato di un binomio:
$ (x-2)^2=0 $
Che ovviamente ha come unica soluzione 2.
Perciò x=2 realizza il minimo che è uguale a 4.
Chiamo $ K:\Bbb{N}\to\Bbb{Q} $ la funzione tale che:
$ K(n)=a_n+b_n $
Quindi il problema si riconduce a dimostrare $ min\{K(25)\}>10\sqrt{2} $.
Sfruttando le ricorsioni date per ipotesi riscrivo K come:
$ K(n+1)=K(n)+\frac{K(n)}{a_nb_n} $
Ora dimostro per induzione che la funzione K che minimizza è $ K(n+1)=K(n)+\frac{4}{K(n)} $ con K(1)=2:
Passo base: K(2) è minimizzato per il lemma 1 da $ K(2)=K(1)+\frac{4}{K(1)} $ che a sua volta assume valore minimo per K(1)=2 per il lemma 3. E perciò rispetta.
Passo induttivo: K(n+1) è minimizzato da $ K(n+1)=K(n)+\frac{4}{K(n)} $ che a sua volta per il lemma 2 assume valore minimo per K(n) minimo che (per passo d'induzione precedente) è realizzato da $ K(n+1)=K(n)+\frac{4}{K(n)} $
Ora devo dimostrare che data la funzione K:
$ K(1)=2 $
$ K(n+1)=K(n)+\frac{4}{K(n)} $
$ K(25)>10\sqrt{2} $
Per farlo dimostro per induzione il lemma $ K(n)>\sqrt{8n}\ \forall n>2 $.
Passo base: Per n=3 basta che svolgo il calcolo: $ K(2)=4\Rightarrow K(3)=4+\frac{4}{4}=5 $ da cui scrivo $ 5>\sqrt{24} $ che si dimostra elevando al quadrato.
Passo induttivo: Sapendo $ K(n)>\sqrt{8n} $ posso scrivere :
$ K(n)^2>8n $
Da cui continuo aggiungendo quantità da entrambe le parti:
$ K(n)^2+8+\frac{4}{k(n)^2}>8n+8 $
Ora estraggo la radice da entrambe le parti:
$ K(n)+\frac{4}{k(n)}>\sqrt{8n+8}\Rightarrow K(n+1)>\sqrt{8(n+1)} $
Che è la tesi.
Si conclude facilmente sfruttando l'ultimo lemma dimostrato:
$ K(25)>\sqrt{25*8}=10\sqrt{2} $
p.s. Problema a mio parere bellissimo ;)
