geocomb again
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In un cerchio di raggio 16 sono stati scelti 196 punti. Dimostrare che esiste sempre una corona circolare di raggio esterno 5 e raggio interno 4 che contiene almeno 5 dei 196 punti selezionati.
Allora, vediamo se riesco a farmi capire... 
Generaliziamo un po' la situazione.
Supponiamo di avere una figura (limitata) $ \mathcal F $ all'interno della quale si trovano $ n $ punti. Abbiamo inoltre un'altra figura (limitata), $ \mathcal M $, che chiameremo maschera e la cui area è $ S_\mathcal M $. Ora "muoviamo" (concettualmente; non dobbiamo trovare la traiettoria, che assomiglierebbe alla curva di Peano) la nostra maschera (senza ruotarla!) sulla figura $ \mathcal F $ in modo tale che dati due punti qualunque, uno di $ \mathcal F $ e uno di $ \mathcal M $, essi si trovino sovrapposti prima o poi durante il moto. Diciamo che $ \mathcal M $ ha coperto $ \mathcal F $ in tutti i modi possibili. Durante il suo "moto", la maschera ha spazzato anche una porzione di spazio esterna a $ \mathcal F $; diciamo, pertanto, che in totale si è trovata a coprire una superficie $ S_{tot} $.
Teorema: esiste una posizione di $ \mathcal M $ in cui essa contiene almeno $ \displaystyle \left\lfloor n\frac{S_\mathcal M}{S_{tot}} \right\rfloor+1 $.
Dimostrazione (sempre che il teorema sia vero!)
Per ora, lascio temporaneamente il compito di dimostrare il teorema a qualcun altro. A occhio e croce, non mi pare difficilissimo da formalizzare per bene con un po' di integrali, però ritengo che ora non sia il momento migliore per farlo. Magari me ne occupo dopo il test. To be continued...
Problema
Nel problema, $ n=196 $ e $ S_\mathcal M=9\pi $. $ S_{tot} $, invece, è l'area del cerchio di raggio $ 16+5 $, quindi $ S_{tot}=441\pi $.
Dal teorema segue che esiste una posizione in cui la corona contiene almeno $ \displaystyle \left\lfloor 196\frac{9\pi}{441\pi} \right\rfloor+1=5 $ punti.
Una cosa curiosa è che nel problema in questione è ininfluente la forma del foro centrale della corona. Esso potrebbe essere a forma di stella, di cuore, etc., purchè continui ad avere area $ 16\pi $.
Generaliziamo un po' la situazione.
Supponiamo di avere una figura (limitata) $ \mathcal F $ all'interno della quale si trovano $ n $ punti. Abbiamo inoltre un'altra figura (limitata), $ \mathcal M $, che chiameremo maschera e la cui area è $ S_\mathcal M $. Ora "muoviamo" (concettualmente; non dobbiamo trovare la traiettoria, che assomiglierebbe alla curva di Peano) la nostra maschera (senza ruotarla!) sulla figura $ \mathcal F $ in modo tale che dati due punti qualunque, uno di $ \mathcal F $ e uno di $ \mathcal M $, essi si trovino sovrapposti prima o poi durante il moto. Diciamo che $ \mathcal M $ ha coperto $ \mathcal F $ in tutti i modi possibili. Durante il suo "moto", la maschera ha spazzato anche una porzione di spazio esterna a $ \mathcal F $; diciamo, pertanto, che in totale si è trovata a coprire una superficie $ S_{tot} $.
Teorema: esiste una posizione di $ \mathcal M $ in cui essa contiene almeno $ \displaystyle \left\lfloor n\frac{S_\mathcal M}{S_{tot}} \right\rfloor+1 $.
Dimostrazione (sempre che il teorema sia vero!)
Per ora, lascio temporaneamente il compito di dimostrare il teorema a qualcun altro. A occhio e croce, non mi pare difficilissimo da formalizzare per bene con un po' di integrali, però ritengo che ora non sia il momento migliore per farlo. Magari me ne occupo dopo il test. To be continued...
Problema
Nel problema, $ n=196 $ e $ S_\mathcal M=9\pi $. $ S_{tot} $, invece, è l'area del cerchio di raggio $ 16+5 $, quindi $ S_{tot}=441\pi $.
Dal teorema segue che esiste una posizione in cui la corona contiene almeno $ \displaystyle \left\lfloor 196\frac{9\pi}{441\pi} \right\rfloor+1=5 $ punti.
Una cosa curiosa è che nel problema in questione è ininfluente la forma del foro centrale della corona. Esso potrebbe essere a forma di stella, di cuore, etc., purchè continui ad avere area $ 16\pi $.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]