Gli Indam 2009 più carucci 4

[julio14]

Sia data una funzione $ $f(x) $ da $ $\mathbb{Z} $ a $ $\mathbb{Z} $ tale che:
$ $f(2009-x)=2009-f(x) $
$ $f(x)\ge x $
Trovare per quanti $ $x $ si ha $ $f(x)=2009 $

[fede90]

Vogliamo dimostrare che f assume il valore 2009 solo una volta, e solo per x=2009.

Supponiamo che esista un certo $ $\lambda$ $ tale che$ $f(\lambda)=2009$ $. Per la seconda condizione abbiamo $ $f(\lambda)\geq\lambda \Rightarrow \lambda\leq 2009$ $. Dalla prima abbiamo $ $f(2009-\lambda)=0$ $ e riapplicando la seconda condizione si ha $ $f(2009-\lambda)\geq 2009-\lambda \Rightarrow \lambda \geq 2009$ $. Perciò deve essere $ $\lambda=2009$ $

Dimostriamo ora che $ $f(2009)$ $ non può assumere valori diversi da 2009. Intanto dalla seconda condizione abbiamo $ $f(2009)\geq 2009$ $. Supponiamo ora per assurdo che $ $f(2009)>2009$ $. Dalla prima condizione otteniamo $ $f(0)=2009-f(2009)<0$ $, in contrasto con la seconda condizione.

Quindi si ha sempre e solo $ $f(2009)=2009$ $

[Tibor Gallai]

In brevissimo: se per un qualche x valesse f(x)>x, si avrebbe f(2009-x) < 2009-x, che non è permesso. Quindi f(x)=x per ogni x.