Ultime cifre di 8^25+12^25

[Iuppiter]

Provenienza: da questo sito (molto bello secondo me) e se ne parla qui.

Problema: Quali sono le ultime due cifre di $ 8^{25} + 12^{25} $?

[pak-man]

Sostanzialmente si chiede di valutare $ 8^{25}+12^{25}\mod100 $.

È chiaro che la somma è multipla di 4, resta da valutare la congruenza modulo 25.
$ \varphi(25)=20 $, dunque $ 8^{25}+12^{25}\equiv8^5+12^5\pmod{25} $.
$ 8^5+12^5=4^5(2^5+3^5)=4^5(32+243)=4^5\cdot275=4^5\cdot11\cdot25 $, dunque è multiplo di 25.

Le ultime due cifre sono 00.

[jordan]

@pak-man: Addirittura la phi
@Iuppiter, non ti pare che sia teoria dei numeri?

$ 8^{25}+12^{25}= $ $ \displaystyle 2^{50}(2^{25}+(5-2)^{25})=2^{50}\sum_{i=1}^{25}{\binom{25}{i}5^i(-2)^{25-i}} $ che è chiaramente divisibile per 1000.

[julio14]

O anche:
$ $(12+8)(roba)=12^5+8^5|12^{25}+8^{25} $
Per la divisibilità per 4 non ci sono problemi, per il 25:
il membro più a sinistra modulo 5 si scrive come
$ $(2-2)(2^4+2^4+2^4+2^4+2^4) $
da cui la tesi

[Iuppiter]

@Iuppiter, non ti pare che sia teoria dei numeri?

Si infatti ero indeciso se metterlo in Teoria dei Numeri o in Combinatoria.

Però l'ho messo qui perchè:
1)proviene da un sito specializzato in combinatoria
2)la soluzione proposta dal sito faceva utilizzo dei binomiali, e ve la allego.

[jordan]

Bonus question(Own). Siano $ (a,b,n) \in \mathbb{N}_0^3 $ tali che $ a+b=20 $. Determinare con quanti zeri termina $ a^n+b^n $.

Ps. Se qualche mod di passaggio sposta questo thread in teoria dei numeri gliene sarei grato.