potenze di matrici

[andrea91]

volevo sapere se si può scrivere in forma chiusa la generica n-esima potenza di
a) una matrice che sia in forma di jordan
b) una matrice che sia in forma di jordan reale

[fph]

Puossi, puossi. La potenza n-esima di un blocco di Jordan di autovalore $ \lambda $ e dimensione $ m $ ha tutti $ \lambda^n $ sulla diagonale, $ n\lambda^{n-1} $ sulla sopradiagonale, $ \frac{n(n-1)}{2}\lambda^{n-2} $ sulla seconda sopradiagonale, e in generale $ \binom{n}{k}\lambda^{n-k} $ sulla k-esima sopradiagonale -- e così via finché finiscono i binomiali o finisce il blocco.
Per i blocchi della forma di Jordan reale (che per inciso finito il corso di geometria del prim'anno per quanto ne so non serve a niente e a nessuno ^^) ti scrivi in forma chiusa quella complessa e poi fai il cambio di base che te la porta in forma reale. Verrà qualcosa tipo $ \binom{n}{k}\cos(k(\arccos \lambda)) $ mi sa. Vedi anche alla voce "polinomi di chebyshev" se ci tieni a trovare una forma chiusa per quell'obbrobrio.