SSC 2010.3

Minialex · Messaggio da **Minialex** » 26 set 2009, 12:18

Un "cavallo 3D" si muove su una scacchiera 8x8x8. Così come il suo precursore si muove di 1 casella in una direzione e di 2 nell'altra, allo stesso modo il nostro cavallo si muove di 1 casella in una direzione a sua scelta, e di 2 nelle altre due direzioni.

Riuscirà il nostro eroe ad andare da un vertice al vertice opposto del cubo, 'toccando' una e una sola volta tutte le caselle?
(Le caselle 'toccate' sono solo quelle di partenza/arrivo di ciascuna mossa)

Proposto da un prof della Normale in trasferta a Catania.

karlosson_sul_tetto · Messaggio da **karlosson_sul_tetto** » 26 set 2009, 12:19

Si muove sempre a forma di L?

Minialex · Messaggio da **Minialex** » 26 set 2009, 12:32

Ehm. Allora. Fa la solita L su un piano (xy, yz, o zx) e contemporamente si muove di due caselle nella direzione perpendicolare al piano.

karlosson_sul_tetto · Messaggio da **karlosson_sul_tetto** » 26 set 2009, 12:35

Cosi se sta in 1,1,1 va in 2,3,3 giusto?

Minialex · Messaggio da **Minialex** » 26 set 2009, 12:36

Eh, per esempio può andare lì.

karlosson_sul_tetto · Messaggio da **karlosson_sul_tetto** » 26 set 2009, 12:37

Grazie,mò ci provo.

Agi_90 · Messaggio da **Agi_90** » 26 set 2009, 16:51

Forse ho trovato una soluzione. Allora facciamo così coloriamo una faccia a scacchiera, e coloriamo l'intera colonna che ha per base la scacchiera dello stesso colore della base. Per intenderci: abbiamo la faccia che ha per estremi (1,1,1) e (8,8,1) allora tutti i quadratin che vanno da (1,1,1) a (1,1,8 ) sono neri, i quadrati che vanno da (1,2,1) a (1,2,8 ) sono bianchi, e così via. Ora vi sono tre colorazioni di questo tipo (una per ogni asse). In ogni colorazione di questo tipo gli estremi sono dello stesso colore, notiamo che detti $ a, b, c $ il numero di mosse necessarie per fare quello che ci chiedono rispettivamente per le mosse $ (2,2,1), (2,1,2), (1,2,2) $ (le mosse con i meno sono specchiate e mantengono le stesse proprietà di queste) allora combinando le tre colorazioni otteniamo che $ a, b, c $ sono pari[falso], ma questo è impossibile, perché il numero totale delle mosse deve essere dispari. Probabilmente c'è qualche errore

[lo so che hai postato questo problema solo per far vedere la tua firma

]

julio14 · Messaggio da **julio14** » 26 set 2009, 17:03

Agi_90 ha scritto:allora combinando le tre colorazioni otteniamo che $ a, b, c $ sono pari

Perché?
Avevo fatto anch'io un ragionamento simile (senza usare le colonne colorate) ma non mi sembrava funzionasse...
Prendiamo solo una direzione, diciamo verticale. Possiamo fare mosse da 1 o da 2. Partiamo in 1 e arriviamo in 8. In totale dobbiamo salire di 7, quindi le mosse da 1 in verticale che dobbiamo fare sono dispari. In tre direzioni, somma ancora dispari. Il numero totale di mosse è $ $8^3-1 $, dispari. Non capisco... tu com'è che sei arrivato a pari?

Agi_90 · Messaggio da **Agi_90** » 26 set 2009, 17:12

julio14 ha scritto:
Agi_90 ha scritto:allora combinando le tre colorazioni otteniamo che $ a, b, c $ sono pari
Perché?
Avevo fatto anch'io un ragionamento simile (senza usare le colonne colorate) ma non mi sembrava funzionasse...
Prendiamo solo una direzione, diciamo verticale. Possiamo fare mosse da 1 o da 2. Partiamo in 1 e arriviamo in 8. In totale dobbiamo salire di 7, quindi le mosse da 1 in verticale che dobbiamo fare sono dispari. In tre direzioni, somma ancora dispari. Il numero totale di mosse è $ $8^3-1 $, dispari. Non capisco... tu com'è che sei arrivato a pari?

In pratica se gli estremi sono dello stesso colore per ogni colorazione si sono due mosse che cambiano il colore della casella in cui arrivi, mentre la terza lo lascia invariato. Quindi se noi dobbiamo andare da Nero a Nero (per esempio) dobbiamo per forza avere un numero pari di mosse che cambiano il colore cioé per esempio a+b = 2k; e qua... ho fatto un errore troppo cretino

sappiamo solo che a+b, b+c e c+a sono pari. Torno a lavoro