Prendiamo una circonferenza G e quattro circonferenze G1, G2, G3, G4 tangenti internamente a G. Chiamiamo (1,2) l'asse radicale tra G1 e G2 e così via.
$ \blacktriangleright 1) $ (1,2), (2,3), (3,4), (4,1) concorrono se e solo se G1, G2, G3, G4 sono tangenti esternamente a una circonferenza G'(diversa da G).
$ \blacktriangleright 2) $ Chiamiamo P il punto di concorrenza tra (1,2), (2,3), (3,4), (4,1), chiamiamo C il centro di G e C' il centro di G'. Dimostrare che P, C e C' sono allineati.
4 cerchi - shortlist del I round dell'oliforum contest (own)
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¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
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sprmnt21 ha scritto:Solo una veloce riflessione "riduzionista".
Se (1,2), (2,3) e (3,4) concorrono dato che (1,3) concorre con (1,2) e (2,3) allora anche (1,4) concorre.
Il problema e' quindi "ridotto".
Per risolvere il problema (e anche di piu') puo' essere utile il seguente lemma:
rl300909
Siano c1 e c2 due circonferenze ed r il loro asse radicale. Sia P un punto su r e T1 e T2 i punti di tangenza da P a c1 e c2 rispettivamente dalla stessa parte di r. Sia I il punto comune allla retta T1T2 ed alla congiungente i centri dei due cerchi. Provae che la posizione di I non dipende da P.
Ma non basta invertire opportunamente rispetto al punto di concorrenza degli assi radicali?
Ovvero, se invertiamo rispetto a P con raggio uguale alla radice quadrata della potenza di P rispetto alle 4 circonferenze (infatti P ha la stessa potenza rispetto a tutte e 4 perché è il centro radicale), le 4 circonferenze G1, G2, G3 e G4 rimangono fisse, mentre G si trasforma in un'altra circonferenza ancora tangente a G1 etc. La seconda freccia si fa prendendo il centro di similitudine interno delle due circonferenze e dimostrando che è allineato con i punti di tangenza di G1, G2 etc.
Poiché la retta per i centri di G e della sua inversa è un asse di simmetria rispetto ad entrambe, ne deriva che l'inverso del centro di G, e quindi anche P giacciono su questa retta.
Ovvero, se invertiamo rispetto a P con raggio uguale alla radice quadrata della potenza di P rispetto alle 4 circonferenze (infatti P ha la stessa potenza rispetto a tutte e 4 perché è il centro radicale), le 4 circonferenze G1, G2, G3 e G4 rimangono fisse, mentre G si trasforma in un'altra circonferenza ancora tangente a G1 etc. La seconda freccia si fa prendendo il centro di similitudine interno delle due circonferenze e dimostrando che è allineato con i punti di tangenza di G1, G2 etc.
Poiché la retta per i centri di G e della sua inversa è un asse di simmetria rispetto ad entrambe, ne deriva che l'inverso del centro di G, e quindi anche P giacciono su questa retta.
Sono il cuoco della nazionale!