Disuguaglianza abbastanza facile

[Reginald]

Spero non sia già postato, sfrugnando un po' non ho trovato nulla...Secondo me è un bel problema, anche se non troppo complesso..
Siano $ x_1,x_2,...,x_n $dei reali positivi tali che $ x_{k+1}=x_k^2+x_k $ per ogni k =1,2,3,....n-1.
Dimostrare che $ $\sum_{i=1}^n{\frac{1}{1+x_i}}<\frac{1}{x_1}}$ $

[Maioc92]

veramente carino!!!!E secondo me neanche troppo semplice perchè ne ho visti di mooolto più facili. Ecco come ho fatto io:
Moltiplico per x_1 e ottengo
$ \displaystyle\frac{x_1}{1+x_1}+x_1\sum_{i=2}^n\frac 1 {1+x_i}<1 $
Sommo $ \frac 1{1+x_1} $,semplifico l'1 da entrambi i membri e poi divido per x_1 ottenendo $ \sum_{i=2}^n\frac 1 {1+x_i}<\frac 1 {x_1^2+x_1}=\frac 1 {x_2} $. Iterando il procedimento ottengo alla fine $ \frac 1 {x_n+1}<\frac 1 {x_n} $ che è banalmente vero. Può andare?

EDIT:oppure semplicemente sommo $ \displaystyle\frac{x_1}{x_1+1} $ e ottengo la stessa cosa

[Reginald]

Può andare?

..Direi proprio di sì.. ..Tra l'altro mi piace parecchio il tuo modo di sommare qua e la per ottenere cose strafighe... Io lo avevo fatto per induzione..
se dimostro che $ $\sum_{i=1}^{n-1}{\frac{1}{x_i+1}}+\frac{1}{x_n}=\frac{1}{x_1}$ $ per ogni n allora ho vinto, perche LHS è sempre maggiore di $ $\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{x_i+1}}$ $. Il caso n=1 è banalmente vero, inoltre se è vero che
$ $\sum_{i=1}^{n-1}{\frac{1}{x_i+1}}+\frac{1}{x_n}=\frac{1}{x_1}$ $ ed è anche vero che $ $\sum_{i=1}^{n-1}{\frac{1}{x_i+1}}+\frac{1}{x_n}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{x_i+1}}+\frac{1}{x_{n+1}} $, vinco.

$ $\sum_{i=1}^{n-1}{\frac{1}{x_i+1}}+\frac{1}{x_n}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{x_i+1}}+\frac{1}{x_{n+1}} $, semplificando $ $\frac{1}{x_n}=\frac{1}{x_n+1}+\frac{1}{x_n(x_n+1)}=\frac{x_n+1}{x_n(x_n+1)}$ $, che semplificando è vera...se non ho sbagliato ..

[Maioc92]

direi proprio che non hai sbagliato
Comunque io credo che anche il tuo modo sia molto bello, anche perchè alla fine sono identici se controlli bene (solo che la mia è una specie di induzione inversa)
Comunque il più delle volte non ho ottenuto nulla aggiungendo qua e là...solo che ovviamente le uniche volte che mi viene non mi lascio sfuggire l'occasione di sfruttarlo