OliForum Matematico

Spero non sia già postato, sfrugnando un po' non ho trovato nulla...Secondo me è un bel problema, anche se non troppo complesso..
Siano $ x_1,x_2,...,x_n $dei reali positivi tali che $ x_{k+1}=x_k^2+x_k $ per ogni k =1,2,3,....n-1.
Dimostrare che $ $\sum_{i=1}^n{\frac{1}{1+x_i}}<\frac{1}{x_1}}$ $

veramente carino!!!!E secondo me neanche troppo semplice perchè ne ho visti di mooolto più facili. Ecco come ho fatto io:
Moltiplico per x_1 e ottengo
$ \displaystyle\frac{x_1}{1+x_1}+x_1\sum_{i=2}^n\frac 1 {1+x_i}<1 $
Sommo $ \frac 1{1+x_1} $,semplifico l'1 da entrambi i membri e poi divido per x_1 ottenendo $ \sum_{i=2}^n\frac 1 {1+x_i}<\frac 1 {x_1^2+x_1}=\frac 1 {x_2} $. Iterando il procedimento ottengo alla fine $ \frac 1 {x_n+1}<\frac 1 {x_n} $ che è banalmente vero. Può andare?

EDIT:oppure semplicemente sommo $ \displaystyle\frac{x_1}{x_1+1} $ e ottengo la stessa cosa

Maioc92 ha scritto:Può andare?

..Direi proprio di sì.. ..Tra l'altro mi piace parecchio il tuo modo di sommare qua e la per ottenere cose strafighe... Io lo avevo fatto per induzione..
se dimostro che $ $\sum_{i=1}^{n-1}{\frac{1}{x_i+1}}+\frac{1}{x_n}=\frac{1}{x_1}$ $ per ogni n allora ho vinto, perche LHS è sempre maggiore di $ $\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{x_i+1}}$ $. Il caso n=1 è banalmente vero, inoltre se è vero che
$ $\sum_{i=1}^{n-1}{\frac{1}{x_i+1}}+\frac{1}{x_n}=\frac{1}{x_1}$ $ ed è anche vero che $ $\sum_{i=1}^{n-1}{\frac{1}{x_i+1}}+\frac{1}{x_n}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{x_i+1}}+\frac{1}{x_{n+1}} $, vinco.

$ $\sum_{i=1}^{n-1}{\frac{1}{x_i+1}}+\frac{1}{x_n}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{x_i+1}}+\frac{1}{x_{n+1}} $, semplificando $ $\frac{1}{x_n}=\frac{1}{x_n+1}+\frac{1}{x_n(x_n+1)}=\frac{x_n+1}{x_n(x_n+1)}$ $, che semplificando è vera...se non ho sbagliato ..

direi proprio che non hai sbagliato
Comunque io credo che anche il tuo modo sia molto bello, anche perchè alla fine sono identici se controlli bene (solo che la mia è una specie di induzione inversa)
Comunque il più delle volte non ho ottenuto nulla aggiungendo qua e là...solo che ovviamente le uniche volte che mi viene non mi lascio sfuggire l'occasione di sfruttarlo