Minimo di un polinomio

[jordan]

Trovare il minimo in $ \mathbb{R} $ di $ p(x):=x^{2008} - 2x^{2007} + 3x^{2006} - 4x^{2005} + 5x^{2004} - $ $ \cdots - 2006x^3 + 2007x^2 - 2008x + 2009 $.

[kn]

metto $ \displaystyle~x=-y $ e ottengo che devo trovare il minimo di $ \displaystyle~\sum_{i=0}^{2008} (2009-i)y^i=\frac{y^{2010}-2010y+2009}{(y-1)^2}\ge 1005 $. Quest'ultima cosa è vera per am-gm, infatti $ \displaystyle~y^{2010}-2010y+2009\ge 1005(y-1)^2 $ se $ \displaystyle~y\neq 1 $, da cui $ \displaystyle~y^{2010}+1004\ge 1005y^2 $ (am-gm su $ \displaystyle~y^{2010} $ e $ \displaystyle~1004 $ uni), ma l'uguaglianza vale solo per $ \displaystyle~y=\pm 1 $. Vediamo sostituendo $ \displaystyle~x=\pm 1 $ che il minimo è effettivamente $ \displaystyle~1005 $ (per $ \displaystyle~x=1 $)
Comunque sei indietro di un anno