scusate per gli esercizi banali che posto,
provare che:
$ \frac{1}{15}<\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot .....\cdot \frac{99}{100}< \frac{1}{10} $
prodotto telescopisco
Si parta dall'ovvia relazione:
$ \displaystyle n^2+2n<n^2+2n+1 $
Ovvero:
$ \displaystyle n(n+2)<(n+1)^2 $
E quindi:
(*) $ \displaystyle\frac{n}{n+1}<\frac{n+1}{n+2} $
Da qui si ricava che:
$ \displaystyle \frac{1}{2}<\frac{2}{3},\frac{3}{4}<\frac{4}{5},\frac{5}{6}<\frac{6}{7},...,\frac{99}{100}<\frac{100}{101} $
Pertanto risulta:
$ \displaystyle P=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot...\cdot\frac{99}{100} $
$ \displaystyle P< \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot...\cdot\frac{100}{101} $
Moltiplicando e semplificando si ha:
$ \displaystyle P^2< \frac{1}{101} $
da cui:
(1) $ P< \frac{1}{\sqrt{101}} $
Inoltre:
(A) $ \displaystyle 2P= \frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot...\cdot\frac{99}{100} $
Sempre per la (*) risulta:
(B) $ 2P > \displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot...\cdot\frac{98}{99} $
Moltiplicando (A) e (B) e semplificando :
$ \displaystyle 4P^2 > \frac{2}{100} $ da cui :
(2) $ P > \displaystyle \frac{1}{\sqrt{200}} $
Riunendo (1) e (2) si ha infine :
$ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{200}}<P<\frac{1}{\sqrt{101}} $
che è anche più stretta della relazione da dimostrare .
$ \displaystyle n^2+2n<n^2+2n+1 $
Ovvero:
$ \displaystyle n(n+2)<(n+1)^2 $
E quindi:
(*) $ \displaystyle\frac{n}{n+1}<\frac{n+1}{n+2} $
Da qui si ricava che:
$ \displaystyle \frac{1}{2}<\frac{2}{3},\frac{3}{4}<\frac{4}{5},\frac{5}{6}<\frac{6}{7},...,\frac{99}{100}<\frac{100}{101} $
Pertanto risulta:
$ \displaystyle P=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot...\cdot\frac{99}{100} $
$ \displaystyle P< \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot...\cdot\frac{100}{101} $
Moltiplicando e semplificando si ha:
$ \displaystyle P^2< \frac{1}{101} $
da cui:
(1) $ P< \frac{1}{\sqrt{101}} $
Inoltre:
(A) $ \displaystyle 2P= \frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot...\cdot\frac{99}{100} $
Sempre per la (*) risulta:
(B) $ 2P > \displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot...\cdot\frac{98}{99} $
Moltiplicando (A) e (B) e semplificando :
$ \displaystyle 4P^2 > \frac{2}{100} $ da cui :
(2) $ P > \displaystyle \frac{1}{\sqrt{200}} $
Riunendo (1) e (2) si ha infine :
$ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{200}}<P<\frac{1}{\sqrt{101}} $
che è anche più stretta della relazione da dimostrare .
Ultima modifica di karl il 11 ott 2009, 15:31, modificato 1 volta in totale.
O anche, sempre usando il fatto che $ \displaystyle~\frac{n}{n+1}<\frac{n+1}{n+2} $, abbiamo:
$ \displaystyle~P=\frac{1}{2}\cdot\ldots\cdot\frac{97}{98}\cdot\frac{99}{100}<\frac{1}{2}\cdot\ldots\cdot\frac{97}{98}<\frac{2}{3}\cdot\ldots\cdot\frac{98}{99}=Q $,
da cui $ \displaystyle~P<Q $, ma $ \displaystyle~PQ=\frac{1}{100} $, dunque $ \displaystyle~\frac{1}{100}>P^2 $, cioè $ \displaystyle~P<\frac{1}{10} $.
Abbiamo anche $ \displaystyle~2P=\frac{3}{4}\cdot\ldots\cdot\frac{99}{100}>\frac{2}{3}\cdot\ldots\cdot\frac{98}{99}=Q $, cioè $ \displaystyle~2P>Q $, ma sempre sfruttando $ \displaystyle~PQ=\frac{1}{100} $ otteniamo $ \displaystyle~2P^2>\frac{1}{100} $, o anche $ \displaystyle~P^2>\frac{1}{200}>\frac{1}{225} $, da cui $ \displaystyle~P>\frac{1}{15} $.
$ \displaystyle~P=\frac{1}{2}\cdot\ldots\cdot\frac{97}{98}\cdot\frac{99}{100}<\frac{1}{2}\cdot\ldots\cdot\frac{97}{98}<\frac{2}{3}\cdot\ldots\cdot\frac{98}{99}=Q $,
da cui $ \displaystyle~P<Q $, ma $ \displaystyle~PQ=\frac{1}{100} $, dunque $ \displaystyle~\frac{1}{100}>P^2 $, cioè $ \displaystyle~P<\frac{1}{10} $.
Abbiamo anche $ \displaystyle~2P=\frac{3}{4}\cdot\ldots\cdot\frac{99}{100}>\frac{2}{3}\cdot\ldots\cdot\frac{98}{99}=Q $, cioè $ \displaystyle~2P>Q $, ma sempre sfruttando $ \displaystyle~PQ=\frac{1}{100} $ otteniamo $ \displaystyle~2P^2>\frac{1}{100} $, o anche $ \displaystyle~P^2>\frac{1}{200}>\frac{1}{225} $, da cui $ \displaystyle~P>\frac{1}{15} $.
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)
