Un russo del 2001

[sprmnt21]

The quadratics x2 + ax + b and x2 + cx + d have real coefficients and take negative values on disjoint intervals. Show that there are real numbers h, k such that h(x2 + ax + b) + k(x2 + cx + d) > 0 for all x.

[sprmnt21]

The quadratics x2 + ax + b and x2 + cx + d have real coefficients and take negative values on disjoint intervals. Show that there are real numbers h, k such that h(x2 + ax + b) + k(x2 + cx + d) > 0 for all x.

questo problema e' molto carino e non e' per niente banale, vi consiglio di non sottovalutarlo.

[jordan]

p(x):=x²+ax+b,q(x):=x²+cx+d,wlog i<j<k<l t.c. p(i)=p(j)=q(k)=q(l)=0. In particolare i<j significa che a+√(a²-4b)>c-√(c²-4d) cioè ((a-c)²-(a²-4b)-(c²-4d))²=(-2ac+4b+4d)²>4(a²-4b)(c²-4d) cioè (2b+2d-ac)²>(a²-4b)(c²-4d) (*). Adesso hp(x)+kq(x)>0 se Δ((hp+kq)(x))<0 sse (au+kc)²-4(bu+kd)(u+k)<0>0, ma questa condizione è equivalente a (*).[]
Più che "non banale" questo mi sembra proprio brutto Hai una soluzione migliore?

[sprmnt21]

p(x):=x²+ax+b,q(x):=x²+cx+d,wlog i<j<k<l t.c. p(i)=p(j)=q(k)=q(l)=0. In particolare i<j>c-√(c²-4d) cioè ((a-c)²-(a²-4b)-(c²-4d))²=(-2ac+4b+4d)²>4(a²-4b)(c²-4d) cioè (2b+2d-ac)²>(a²-4b)(c²-4d) (*). Adesso hp(x)+kq(x)>0 se Δ((hp+kq)(x))<0 sse (au+kc)²-4(bu+kd)(u+k)<0>0, ma questa condizione è equivalente a (*).[]
Più che "non banale" questo mi sembra proprio brutto Hai una soluzione migliore?

La mia soluzione e' diversa. Parte da una matematizzazione diversa e poi non richiede molto di piu' che le quattro operazioni aritmetiche.

Volevo pero' chiederti di chiarire alcuni punti. Anziche' "i<j significa ..." intendi forse "j<k significa ..." e poi puoi spiegare come da A > B passi ad A^2 > B^2?

Infine puoi esplicitare meglio l'equivalenza finale?

[sprmnt21]

p(x):=x²+ax+b,q(x):=x²+cx+d,wlog i<j<k<l t.c. p(i)=p(j)=q(k)=q(l)=0. In particolare i<j>c-√(c²-4d) cioè ((a-c)²-(a²-4b)-(c²-4d))²=(-2ac+4b+4d)²>4(a²-4b)(c²-4d) cioè (2b+2d-ac)²>(a²-4b)(c²-4d) (*). Adesso hp(x)+kq(x)>0 se Δ((hp+kq)(x))<0 sse (au+kc)²-4(bu+kd)(u+k)<0>0, ma questa condizione è equivalente a (*).[]
Più che "non banale" questo mi sembra proprio brutto Hai una soluzione migliore?

La mia soluzione e' diversa. Parte da una matematizzazione diversa e poi non richiede molto di piu' che le quattro operazioni aritmetiche.

Volevo pero' chiederti di chiarire alcuni punti. Anziche' "i<j significa ..." intendi forse "j<k significa ..." e poi puoi spiegare come da A > B passi ad A^2 > B^2?

Infine puoi esplicitare meglio l'equivalenza finale?

Aggiornamento:

il passaggio da A > B ad A^2 > B^2 mi e' adesso chiaro (avevo fatto mentalmente delle operazioni e mi era scappato un segno "-". Chiedo venia ).

Invece continuo a non vedere immediata l'ultima affermazione, quella sulla equivalenza.

[jordan]

Mi si è mangiato un pezzo del msg..
vedi l'ultima equazione in u di secondo grado? se risulta negativa per qualche u allora ha discriminante positivo (deve avere delle radici). La condizione di discriminante positivo è la stessa cosa di (*), prova a fare i conti..

[sprmnt21]

Mi si è mangiato un pezzo del msg..
vedi l'ultima equazione in u di secondo grado? se risulta negativa per qualche u allora ha discriminante positivo (deve avere delle radici). La condizione di discriminante positivo è la stessa cosa di (*), prova a fare i conti..

li ho fatti stavolta (sulla fiducia della tua soluzione) e "vengono". Di solito con conti cosi ingarbugliati mi perdo sempre qualche pezzo (devo ricontrollare tante tantissime volte prima di bonificare un conto laborioso e non sempre ho tempo e voglia di farlo).


Ecco comunque la mia idea:

L’ipotesi di disgiunzione degli intervalli per cui le due parabole sono negative, implica che esista x* tale che y1(x*) = y2(x*) = C >0.

Poniamo x’ = x-x* otteniamo che y1=x’2 + Ax’ + C e y2=x’2 + Bx’ + C.

Quindi hy1 + ky2 = (h+k)x’2 + (hA + kB)x’ + (h + k)C.

Se A > B scegliamo h = -B e k = A per avere hy1 + ky2 = (A-B)(x’2 + C) > 0 per ogni x.

Se B > A scegliamo h = B e k = -A per avere hy1 + ky2 = (B-A)(x’2 + C) > 0 per ogni x.