Questo problema non so se sia un fatto noto... ma dato che mi è sembrato bello lo posto... penso sia considerabile di media difficoltà.
Dato un triangolo $ \displaystyle ABC $ prendo i punti $ D,E,F $ rispettivamente su $ AB,BC,CA $.
Chiamato $ Circ(MNO) $ il circocentro del triangolo $ MNO $ dimostrare:
Il triangolo formato dai punti $ Circ(FAD),Circ(DBE),Circ(ECF) $ è simile ad $ \displaystyle ABC $.
Punti sui lati di un triangolo e circocentri
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exodd
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che sarebbero M,N,O?
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
ispiratore del BTAEvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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Giuseppe R
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- Località: A casa sua
Penso di esserci riuscito dopo un po' di tempo, allora:
LEMMA 1
Le 3 circonferenze circoscritte a FAD DBE ECF si incontrano in un unico punto.
Dimostrazione: sia G l'altro punto di intersezione fra la circonferenza circoscritta a FAD e quella a DBE, allora:
$ \angle GFA = \pi - \angle CFG ; \angle GDB = \pi - \angle ADG ; \angle GEC = \pi - \angle BEG $ perchè i punti stanno sui lati, ma per il teorema sugli angoli alla circonferenza si ha: $ \angle GFA = \pi - \angle ADG ; \angle GDB = \pi - \angle BEG $, quindi $ \angle GEC = \pi - \angle CFG $. Segue che G sta sulla circonferenza circoscritta a ECF.
Ora segue che G è il circocentro di entrambi i triangoli in questione, ma la sua distanza da A, B e C è doppia di quella dai 3 circocentri. Quindi i due triangoli sono simili con rapporto 2.
LEMMA 1
Le 3 circonferenze circoscritte a FAD DBE ECF si incontrano in un unico punto.
Dimostrazione: sia G l'altro punto di intersezione fra la circonferenza circoscritta a FAD e quella a DBE, allora:
$ \angle GFA = \pi - \angle CFG ; \angle GDB = \pi - \angle ADG ; \angle GEC = \pi - \angle BEG $ perchè i punti stanno sui lati, ma per il teorema sugli angoli alla circonferenza si ha: $ \angle GFA = \pi - \angle ADG ; \angle GDB = \pi - \angle BEG $, quindi $ \angle GEC = \pi - \angle CFG $. Segue che G sta sulla circonferenza circoscritta a ECF.
Ora segue che G è il circocentro di entrambi i triangoli in questione, ma la sua distanza da A, B e C è doppia di quella dai 3 circocentri. Quindi i due triangoli sono simili con rapporto 2.
Esistono 10 tipi di persone: quelli che capiscono i numeri binari e quelli che non li capiscono.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.