OliForum Matematico

Questo problema non so se sia un fatto noto... ma dato che mi è sembrato bello lo posto... penso sia considerabile di media difficoltà.

Dato un triangolo $ \displaystyle ABC $ prendo i punti $ D,E,F $ rispettivamente su $ AB,BC,CA $.
Chiamato $ Circ(MNO) $ il circocentro del triangolo $ MNO $ dimostrare:
Il triangolo formato dai punti $ Circ(FAD),Circ(DBE),Circ(ECF) $ è simile ad $ \displaystyle ABC $.

Ehm... Si chiama Teorema di Miquel! Però è abbastanza facile da dimostrare

che sarebbero M,N,O?

exodd ha scritto:che sarebbero M,N,O?

Sarebbero degli ipotetici punti xD È per far capire cosa fa la funzione Circ ;) Preso un triangolo sputa fuori il circocentro volevo dire questo xD

Penso di esserci riuscito dopo un po' di tempo, allora:
LEMMA 1
Le 3 circonferenze circoscritte a FAD DBE ECF si incontrano in un unico punto.
Dimostrazione: sia G l'altro punto di intersezione fra la circonferenza circoscritta a FAD e quella a DBE, allora:
$ \angle GFA = \pi - \angle CFG ; \angle GDB = \pi - \angle ADG ; \angle GEC = \pi - \angle BEG $ perchè i punti stanno sui lati, ma per il teorema sugli angoli alla circonferenza si ha: $ \angle GFA = \pi - \angle ADG ; \angle GDB = \pi - \angle BEG $, quindi $ \angle GEC = \pi - \angle CFG $. Segue che G sta sulla circonferenza circoscritta a ECF.

Ora segue che G è il circocentro di entrambi i triangoli in questione, ma la sua distanza da A, B e C è doppia di quella dai 3 circocentri. Quindi i due triangoli sono simili con rapporto 2.