diseguaglianze 3

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

siano a,b,c reali positivi minori di 1.
 dimostrare che
 a^2 + b^2 + c^2 <= a^2b + b^2c + c^2a + 1

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

a^2b significa a^(2b)?

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

(a^2)*b
 
 effettivamente avevo scritto ambiguamente [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 05-05-2003 13:35 ]

alberto · Messaggio da **alberto** » 01 gen 1970, 01:33

a destra c\'è a^(2b) oppure (a^2)* b ?
 
 se c\'è a^(2b) si trasforma la disequazione in
 a^2 + b^2 + c^2 <= (a^2)^b + (b^2)^c + (c^2)^a + 1
 che è evidente infatti:
 a^2<= (a^2)^b
 b^2<= (b^2)^c
 c^2<= (c^2)^a
 perchè un numero positivo n<1 elevato alla m[m positivo minore di 1] da un numero p>n.
 in pratica non serve il +1
 ...altrimenti è diverso
 ...attendo risposta grazie
 [mi sto quasi convincendo che è (a^2)* b]

WindowListener · Messaggio da **WindowListener** » 01 gen 1970, 01:33

ciao biagio .... questa disuguaglianza mi ricorda lo stage di parma..... un aiuto..... provate a sostituire a = 1-x
 b = 1-y
 c= 1-z
 
 si semplifica notevolmente osservando che è possibile raccogliere come (1-x)(1-y)(1-z) + altri termini positivi....
 
 ciao

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

x Alberto:
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-05-05 13:33, Biagio wrote:
 (a^2)*b
 
 effettivamente avevo scritto ambiguamente
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 05-05-2003 13:35 ]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 ps: ciao scienza, effettivamente ricordo che l\'avevi risolta tu, ma mi chiedevo come avevi fatto dato che è tutta mattina che mi ci sto scervellando su!!ora provo come hai detto.

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

avevi ragione, così viene senza neanche utilizzare confronti tra medie. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

coi confronti tra medie la vedo dura effettivamente
 
 in alternativa (più brutale): estendiamo la disuguaglianza anche agli estremi 0 e 1
 (2° membro - 1° membro) è una funzione definita su un cubo unitario, chiuso e convesso, con derivata seconda negativa o nulla in ciascuna variabile, perciò la funzione è concava e assume il minimo agli estremi del dominio, e precisamente dove due variabili assumono il valore 1 e una il valore 0 o viceversa.
 All\'interno del cubo la funzione assume valori maggiori, uguali solo nel caso in cui qualche derivata seconda si annulli, cioè qualche variabile sia 1, ma questo non accade mai all\'interno del cubo perciò tornando alla diseguglianza di partenza possiamo stringerla

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

riscriviamo la
 
 a^2 + b^2 + c^2 <= a^2b + b^2c + c^2a + 1
 
 come
 
 a^2(1-b)+b^2(1-c)+c^2(1-a)=<1.
 
 
 essendo a,b, c < 1, quindi a^2 < a ecc., se proviamo la seguente vale pure la nostra:
 
 a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)=<1.
 
 
 Questa e\' un caso particolare di uno degli esercizi di un passato numero del giornalino (non mi ricordo quale. Qualcuno si ricorda?).
 
 Il tutto, nel caso particolare, deriva dall\'identita\'
 
 a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)+abc+(1-a)(1-b)(1-c)=1 che puo\' essere facilmente verificata sia algebricamente che \"geometricamente\" considerando un\'opportuna partizione del cubo di lato 1.
 
 
 
 
 
 
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 06-05-2003 16:10 ]