vecchie provinciali
vecchie provinciali
qual è il massimo numero intero positivo che ha lo stesso numero di cifre in base 10 e in base 16?
Dato $ b \in \mathbb{N}_0 $ il numero delle cifre di $ n \in \mathbb{N}_0 $ in base $ b $ è dato da $ \lfloor \text{log}_b(n) \rfloor +1 $. Quindi se $ \lfloor \text{log}_{10}(x) \rfloor +1=\lfloor \text{log}_{16}(x) \rfloor +1 $ per qualche $ x \in \mathbb{N}_0 $ allora $ f(z):=\frac{\lfloor \text{log}_{16}(z) \rfloor}{\lfloor \text{log}_{10}(z) \rfloor}=1 $ ha solo un numero finito di soluzioni dato che per $ z $ sufficientemente grande $ f(z) $ è arbitrariamente piccolo. Ma $ 1=f(16^1)=f(16^2)=f(16^3)=f(16^4) > f(16^5) $ per cui il valore cercato appartiene verifica $ x_0 \in [16^4,16^5) $. Allora $ 1=f(x_0)=\frac{4}{\lfloor \text{log}_{10}(x_0) \rfloor} $ ed è immediato verificare che $ x_0=10^5-1 $.[]
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