Quadrato perfetto? Come faccio a saperlo?

[OriginalBBB]

Allora, è possibilissimo che mi sia metaforicamente scottato con l'acqua calda per la pruima volta, ma è possibile sapere questa cosa? Se un numero è un quadrato perfetto o no (non parlo di osservazione di cifre)?

Il mio particolare caso poi mi impone di prevedere quanti quadrati perfetti possono trovare dalla somma x^2 + 60, e magari generalizzando in che rapporto devono essere x ed y di modo che x^2+y sia un quadrato perfetto.

So che qualcuno si farà delle risate leggendo, ma è l aprima volta che mi ritrovo di fronte a questo problema e facendo una ricerca sia su google che qua dul forum non sono riuscito a trovare nulla di utile. L'unica cosa, conseguenza logica del mio problema, a cui sono arrivato per ora è che 60 deve essere per forza la distanza tra due quadrati, cosa che lascia ancora troppe incognite di quante possa gestire)
Spero di aver beccato la sezione giusta

[Haile]

Io proverei qualcosa di questo tipo (x,y interi chiaramente)

$ $x^2+60 = y^2$ $, allora $ $y^2 - x^2 = 60$ $, quindi

$ $(y-x)(y+x) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ $

I casi possibili sono quindi questi

$ $(y-x)(y+x) = 1 \cdot 60$ $

$ $(y-x)(y+x) = 2 \cdot 30$ $

$ $(y-x)(y+x) = 3 \cdot 20$ $

$ $(y-x)(y+x) = 4 \cdot 15$ $

$ $(y-x)(y+x) = 5 \cdot 12$ $

$ $(y-x)(y+x) = 6 \cdot 10$ $

Se x,y devono essere interi, gli unici che hanno soluzione sono il secondo, che porta a 14² + 60 = 16² e l'ultimo, che porta a 2² + 60 = 8²

Per quanto riguarda il caso generale con x² + y = w², non so se ci sono modi per operare. Invece per il "riconoscere se un numero è un quadrato perfetto"... ti segnalo questo topic:

viewtopic.php?t=11036&highlight=quadrato+perfetto

In particolare il secondo post, ed il sesto: non ci sono modi, a parte estrarre la radice.

[OriginalBBB]

Perfetto, e l'ho anche capito quasi al volo.

[Maioc92]

giusto per darti un'idea, un'altra tecnica che in genere può essere utile (e personalmente la uso spesso, anche se in questo specifico caso non è la migliore alternativa) è "incastrare" la quantità tra 2 quadrati perfetti consecutivi.
Ora mi spiego meglio:
prendiamo come esempio il problema che hai proposto tu (supponendo $ x\in\mathbb N) $ .
Sicuramente $ x^2+60>(x)^2 $.
Prendiamo invece $ (x+1)^2=x^2+2x+1 $. E' facile vedere che se $ x\ge 30 $, allora $ x^2+2x+1>x^2+60 $.
Quindi per $ x\ge 30 $ vale la catena di disuguaglianze $ (x+1)^2>x^2+60>x^2 $.
Cosa significa questo? Significa che la quantità $ x^2+60 $ è compresa tra 2 quadrati perfetti consecutivi, perciò a rigor di logica non può essere un quadrato perfetto. In questo modo abbiamo ridotto i casi possibili da infiniti a 30 (infatti rimangono da provare solo i naturali da 0 a 29)

Come detto all'inizio, in questo caso non è il metodo migliore perchè 30 casi non sono pochi, ma spesso questa tecnica funziona e funziona bene

[Haile]

A (banale) esempio: la tecnica descritta da Maioc può essere utilizzata per dimostrare che $ ~ n^2 + n + 1 $ non è mai un quadrato perfetto.

[jordan]

Ma $ \phi_3(0)=\phi_3(-1)=1 $..

[OriginalBBB]

Terrò a mente anche il tuo metodo maioc

[OriginalBBB]

Ma $ \phi_3(0)=\phi_3(-1)=1 $..

arabo! Ho troppe cose da imparare in pochi mesi, ma ci spero!

[jordan]

$ \phi_3(\cdot) $ è il terzo polinomio ciclotomico, i.e. quello scritto da Haile nel suo post..perchè tra pochi mesi che hai?

[Haile]

Ma $ \phi_3(0)=\phi_3(-1)=1 $..

Ok, era "per intero maggiore di 1"

[OriginalBBB]

$ \phi_3(\cdot) $ è il terzo polinomio ciclotomico, i.e. quello scritto da Haile nel suo post..perchè tra pochi mesi che hai?

Spero di arrivare a farmi valere alle provinciali! Ho ancora quest'anno e la quinta per combinare qualcosa ^^