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Allora, è possibilissimo che mi sia metaforicamente scottato con l'acqua calda per la pruima volta, ma è possibile sapere questa cosa? Se un numero è un quadrato perfetto o no (non parlo di osservazione di cifre)?

Il mio particolare caso poi mi impone di prevedere quanti quadrati perfetti possono trovare dalla somma x^2 + 60, e magari generalizzando in che rapporto devono essere x ed y di modo che x^2+y sia un quadrato perfetto.

So che qualcuno si farà delle risate leggendo, ma è l aprima volta che mi ritrovo di fronte a questo problema e facendo una ricerca sia su google che qua dul forum non sono riuscito a trovare nulla di utile. L'unica cosa, conseguenza logica del mio problema, a cui sono arrivato per ora è che 60 deve essere per forza la distanza tra due quadrati, cosa che lascia ancora troppe incognite di quante possa gestire)
Spero di aver beccato la sezione giusta

Io proverei qualcosa di questo tipo (x,y interi chiaramente)

$ $x^2+60 = y^2$ $, allora $ $y^2 - x^2 = 60$ $, quindi

$ $(y-x)(y+x) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ $

I casi possibili sono quindi questi

$ $(y-x)(y+x) = 1 \cdot 60$ $

$ $(y-x)(y+x) = 2 \cdot 30$ $

$ $(y-x)(y+x) = 3 \cdot 20$ $

$ $(y-x)(y+x) = 4 \cdot 15$ $

$ $(y-x)(y+x) = 5 \cdot 12$ $

$ $(y-x)(y+x) = 6 \cdot 10$ $

Se x,y devono essere interi, gli unici che hanno soluzione sono il secondo, che porta a 14² + 60 = 16² e l'ultimo, che porta a 2² + 60 = 8²

Per quanto riguarda il caso generale con x² + y = w², non so se ci sono modi per operare. Invece per il "riconoscere se un numero è un quadrato perfetto"... ti segnalo questo topic:

viewtopic.php?t=11036&highlight=quadrato+perfetto

In particolare il secondo post, ed il sesto: non ci sono modi, a parte estrarre la radice.

Perfetto, e l'ho anche capito quasi al volo.

giusto per darti un'idea, un'altra tecnica che in genere può essere utile (e personalmente la uso spesso, anche se in questo specifico caso non è la migliore alternativa) è "incastrare" la quantità tra 2 quadrati perfetti consecutivi.
Ora mi spiego meglio:
prendiamo come esempio il problema che hai proposto tu (supponendo $ x\in\mathbb N) $ .
Sicuramente $ x^2+60>(x)^2 $.
Prendiamo invece $ (x+1)^2=x^2+2x+1 $. E' facile vedere che se $ x\ge 30 $, allora $ x^2+2x+1>x^2+60 $.
Quindi per $ x\ge 30 $ vale la catena di disuguaglianze $ (x+1)^2>x^2+60>x^2 $.
Cosa significa questo? Significa che la quantità $ x^2+60 $ è compresa tra 2 quadrati perfetti consecutivi, perciò a rigor di logica non può essere un quadrato perfetto. In questo modo abbiamo ridotto i casi possibili da infiniti a 30 (infatti rimangono da provare solo i naturali da 0 a 29)

Come detto all'inizio, in questo caso non è il metodo migliore perchè 30 casi non sono pochi, ma spesso questa tecnica funziona e funziona bene

A (banale) esempio: la tecnica descritta da Maioc può essere utilizzata per dimostrare che $ ~ n^2 + n + 1 $ non è mai un quadrato perfetto.

Ma $ \phi_3(0)=\phi_3(-1)=1 $..

Terrò a mente anche il tuo metodo maioc

jordan ha scritto:Ma $ \phi_3(0)=\phi_3(-1)=1 $..

arabo! Ho troppe cose da imparare in pochi mesi, ma ci spero!

$ \phi_3(\cdot) $ è il terzo polinomio ciclotomico, i.e. quello scritto da Haile nel suo post..perchè tra pochi mesi che hai?

jordan ha scritto:Ma $ \phi_3(0)=\phi_3(-1)=1 $..

Ok, era "per intero maggiore di 1"

jordan ha scritto:$ \phi_3(\cdot) $ è il terzo polinomio ciclotomico, i.e. quello scritto da Haile nel suo post..perchè tra pochi mesi che hai?

Spero di arrivare a farmi valere alle provinciali! Ho ancora quest'anno e la quinta per combinare qualcosa ^^