OliForum Matematico

Quanti sono i multipli di 3 che hanno al massimo 2009 cifre e che non hanno le cifre {2,4,6} nella loro rappresentazione decimale?

Uhm provo... Chiamo belli quei numeri.
Chiamo $ $b_n $ il numero dei belli con esattamente n cifre.
Le prime $ $n-1 $ cifre di $ $b_n $ le posso scegliere liberamente tra quelle disponibili. L'ultima cifra deve essere diversa da 0 e deve essere tale che 3 divida la somma delle cifre... ci sono 2 possibilità per ogni possibile congruenza della somma delle altre cifre.
Quindi l'ultima cifra ha 2 possibilità, le altre ne hanno 7 quindi:
$ $b_n=2\cdot 7^{n-1} $
Ora per ottenere tutti i belli con 2009 o meno cifre basta fare:
$ $\sum_{i=1}^{2009}b_i=\sum_{i=0}^{2008} 2\cdot 7^i=\frac{7^{2009}-1}{3} $

Al solito spero di non aver toppato xD

la prima cifra non può essere 0

Maioc92 ha scritto:la prima cifra non può essere 0 :roll:

Perchè la prima cifra non può essere 0? dove sta scritto che non possono essere divisibili per 10?
O forse ho inteso male il messaggio xD

dario2994 ha scritto:

Maioc92 ha scritto:la prima cifra non può essere 0

Perchè la prima cifra non può essere 0? dove sta scritto che non possono essere divisibili per 10?
O forse ho inteso male il messaggio xD

Credo intenda la prima da sinistra

L'ultima cifra deve essere diversa da 0 e deve essere tale che 3 divida la somma delle cifre...

Mi pare di averlo messo in conto nella dimostrazione :|

dario2994 ha scritto:

L'ultima cifra deve essere diversa da 0 e deve essere tale che 3 divida la somma delle cifre...

Mi pare di averlo messo in conto nella dimostrazione

Si, ho visto. Io ho solamente interpretato il suo post, =P

ah si scusate. Ho interpretato "l'ultima cifra" che hai scritto nella soluzione come "l'ultima cifra a destra".

Ok, va bene. Adesso posto la seconda parte del problema