Determinare tutte le soluzioni positive del sitema:
$ \begin{cases}
x+y+z+t=24\\
xyzt=1080+xy+xz+xt+yz+yt+zt\\
\end{cases}
$
Un sistema da risolvere
Dimostro che $ \displaystyle xyzt\le xy+xz+xt+yz+yt+zt+1080 $.
Per farlo dimostro 2 disuguaglianze, che sommate danno la tesi:
1)$ \displaystyle xy+xz+xt+yz+yt+zt\ge\frac 1 6 xyzt $
Applicando AM-GM ho che $ \displaystyle xy+xz+xt+yz+yt+zt\ge 6\sqrt {xyzt} $
Rimane da dimostrare che $ \displaystyle 36\sqrt {xyzt}\ge xyzt $, ovvero che $ \displaystyle \sqrt {xyzt}\le 36 $.
Questo è vero sempre per AM-GM, infatti $ \displaystyle \sqrt {xyzt}\le (\frac{x+y+z+t} 4)^2=6^2=36 $
2)$ \displaystyle \frac 5 6 xyzt\le 1080 $
Anche questa disuguaglianza è vera, indovinate un po', per AM-GM:
$ \displaystyle \frac 5 6xyzt\le\frac 5 6(\frac{x+y+z+t} 4)^4=\frac 5 6\cdot 6^4=1080 $
Quindi affinchè il sistema sia soddisfatto deve valere l'uguaglianza in AM-GM, cioè deve essere $ x=y=z=t=6 $, che è l'unica soluzione nei reali positivi.
Per farlo dimostro 2 disuguaglianze, che sommate danno la tesi:
1)$ \displaystyle xy+xz+xt+yz+yt+zt\ge\frac 1 6 xyzt $
Applicando AM-GM ho che $ \displaystyle xy+xz+xt+yz+yt+zt\ge 6\sqrt {xyzt} $
Rimane da dimostrare che $ \displaystyle 36\sqrt {xyzt}\ge xyzt $, ovvero che $ \displaystyle \sqrt {xyzt}\le 36 $.
Questo è vero sempre per AM-GM, infatti $ \displaystyle \sqrt {xyzt}\le (\frac{x+y+z+t} 4)^2=6^2=36 $
2)$ \displaystyle \frac 5 6 xyzt\le 1080 $
Anche questa disuguaglianza è vera, indovinate un po', per AM-GM:
$ \displaystyle \frac 5 6xyzt\le\frac 5 6(\frac{x+y+z+t} 4)^4=\frac 5 6\cdot 6^4=1080 $
Quindi affinchè il sistema sia soddisfatto deve valere l'uguaglianza in AM-GM, cioè deve essere $ x=y=z=t=6 $, che è l'unica soluzione nei reali positivi.
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!