Disuguaglanza sulla parte frazionaria di n radice di 3

[jordan]

Sia $ c \in \mathbb{R} \cap (0,+\infty) $ fissato tale che per ogni $ n \in \mathbb{Z} \cap (0,+\infty) $ vale $ \displaystyle \{n \sqrt{3}\}>\frac{c}{n\sqrt{3}} $. Mostrare che $ c \in \mathbb{R} \cap (0,1] $.


Nb. Come al solito $ \{y\}:=y-\lfloor y\rfloor $ per ogni $ y \in \mathbb{R} $.

[FrancescoVeneziano]

Rilancio:
Usando un po' di risultati sulle frazioni continue enunciati in questo thread si può dimostrare senza eccessive difficoltà che $ c\leq \sqrt{3}-1\approx 0,73 $, e che $ c=\frac{2\sqrt{3}-3}{3}\approx 0,15 $ soddisfa l'ipotesi.

[piever]

Rettifico quello che ha detto Venez che è il risultato di un errore di calcolo faticosamente corretto.
La tesi giusta è:

1) Se per ogni n intero positivo si ha $ \displaystyle\{ n\sqrt{3}\} >\frac{c}{n\sqrt{3}} $ allora $ \displaystyle c\le 1 $

2) Per ogni n intero positivo $ \displaystyle\{ n\sqrt{3}\} >\frac{1}{n\sqrt{3}} $

La parte 1 (che è quello che il problema richiede) si dimostra prendendo come n i denominatori dei convergenti pari e scegliendo convergenti molto grandi. Infatti: $ \displaystyle\lim_{k\to\infty} q_{2k}^2\left( \sqrt{3}-\frac{p_{2k}}{q_{2k}}\right) =\frac{1}{\sqrt{3}} $