trovare due interi positivi a e b,tali che:
$ a^{2}+b^{2}=85113 $ e lmc(a,b)=1764
lmn(a,b)=1764
lcm(a,b)=1764=(2.3.7)², a²+b²=85113=193.(3.7)² allora wlog 2²|a e (3.7)|gcd(a,b). Sia (x,y) t.c. a=2².3.7.x e b=3.7.y, allora lcm(x,y)=(3.7) e (2x)²+y²=193. Ovviamente gcd(x,y)=1 visto che 193 è primo. Il caso (x,y) in (1,21), (21,1) è chiaramente impossibile perchè (2x)²+y²>200. Rimangono solo due casi (x,y)=(3,7) oppure (7,3) che, però, non danno alcuna soluzione.. dove sbaglio? 
The only goal of science is the honor of the human spirit.
ma non dovrebbe venir $ (4x)²+y²=193 $jordan ha scritto:lcm(a,b)=1764=(2.3.7)², a²+b²=85113=193.(3.7)² allora wlog 2²|a e (3.7)|gcd(a,b). Sia (x,y) t.c. a=2².3.7.x e b=3.7.y, allora lcm(x,y)=(3.7) e (2x)²+y²=193. Ovviamente gcd(x,y)=1 visto che 193 è primo. Il caso (x,y) in (1,21), (21,1) è chiaramente impossibile perchè (2x)²+y²>200. Rimangono solo due casi (x,y)=(3,7) oppure (7,3) che, però, non danno alcuna soluzione.. dove sbaglio?
vabo cmq (x,y)=(3,7) da cui (a,b)=(2².3².7,3.7²).
Comunque ecco lo svolgimento: wlog, supponiamo $ b>a $. Dovrà essere $ 85113/2 < b^2 < 85113 $ cioè $ 206 \le b \le 291 $. Ora, essendo $ b=2^{\alpha}\cdot3^{\beta}\cdot7^{\gamma} $, con $ \alpha, \beta, \gamma $ compresi tra 0 e 2, si vede facilmente che l'unica possibilità per b è $ b = 2^2\cdot 3^2\cdot 7 = 252 $, che dà $ b^2 = 63504 $. Sarà dunque $ a^2 = 85113 - b^2 = 21609 = 3^2\cdot 7^4 $, ossia $ a = 3\cdot7^2 = 147 $.
Ricapitolando, l'unica soluzione è $ a = 147 $ e $ b = 252 $ (e ovviamente la simmetrica).
Ricapitolando, l'unica soluzione è $ a = 147 $ e $ b = 252 $ (e ovviamente la simmetrica).
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
Dunque, uno tra $ a^2 $ e $ b^2 $ deve essere maggiore di $ 85113/2 $. Quindi del tutto arbitrariamente (essendo un'equazione simmetrica) ho posto b > a, per avere almeno un "punto fisso" nell'esposizione. L'altro caso, cioè a > b, costituisce la soluzione simmetrica rispetto alla prima (a = 252, b = 147).
Insomma, era per poter dire sempre "b" e non "uno fra a e b"
Insomma, era per poter dire sempre "b" e non "uno fra a e b"
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"