Tutte le funzioni con gcd(f(a),f(b))=gcd(a,b)

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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jordan
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Tutte le funzioni con gcd(f(a),f(b))=gcd(a,b)

Messaggio da jordan »

Trovare tutte le funzioni $ f(\cdot):\mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0 $ tali che per ogni $ (a,b) \in \mathbb{N}_0^2 $ vale $ \gcd(f(a),f(b))=\gcd(a,b) $
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dario2994
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Messaggio da dario2994 »

Mi sa che non quadra qualcosa... pongo a=b... si ricava f(a)=a :|
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jordan
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Messaggio da jordan »

Si, scuse me, avevo dimenticato "per ogni a diverso da b".
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dario2994
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Messaggio da dario2994 »

Ritento...
Fisso a=0... si ottiene facilmente che qualsiasi numero divide f(0) quindi f(0)=0.
Fisso b=2a (con b diverso da 0)... si ottiene a|f(a) da cui f(a)=ma per qualche m intero non negativo.
Assumo m diverso da 0,1 per qualche a, pongo b=f(a) da cui si ottiene:
$ $a=ma $
Che ovviamente rivela l'assurdo dato che si era posto m diverso da 1.
Nel caso m=0 pongo b=0:
$ a=gcd(0,0) $
che ovviamente... non è plausibile (l'ovviamente serve per non far capire che non so quanto valga RHS xD... ma che è abbastanza chiaro che non vale proprio a).
Quindi m=1 per ogni a diverso da 0, da cui si ottiene che f(x)=x per ogni intero non negativo... sostituendo viene ovviamente che questo soddisfa.
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Messaggio da fph »

dario2994 ha scritto: $ a=\gcd(0,0) $
che ovviamente... non è plausibile (l'ovviamente serve per non far capire che non so quanto valga RHS xD...
Al solito puoi definirlo come ti pare, ma il modo più sensato (leggi "che preserva più proprietà") è porlo uguale a 0. Il punto è che quando fai il gcd il "massimo" non andrebbe inteso come massimo in-senso-stretto ma come massimo rispetto all'ordinamento (parziale) definito da "$ a\leq b $ se e solo se a|b", per cui 0 è l'elemento più grande di $ \mathbb N $.

Comunque nota che Jordan, da vecchio volpone, ha posto il problema su $ \mathbb N_0 $, che dovrebbe essere $ \mathbb N $ senza lo 0. :D
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jordan
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Messaggio da jordan »

fph ha scritto:Comunque nota che Jordan, da vecchio volpone, ha posto il problema su $ \mathbb N_0 $, che dovrebbe essere $ \mathbb N $ senza lo 0. :D
LOL, cmq sci, senza lo 0 :lol:
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Messaggio da dario2994 »

Ma allora sono pirla... io avevo inteso quello 0 al pedice come dire "con lo 0" non il contrario xD
Infatti poi avevo pensato che era più pulito come esercizio senza lo 0...
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Messaggio da fph »

...infatti sarebbe stato meglio se Jordan avesse definito $ \mathbb N_0 $, oppure, come (da vecchi volponi) fanno quelli che scrivono i testi delle gare, scrivere "una funzione dagli interi POSITIVI agli interi POSITIVI".
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