Questo esercizio è davvero figo xD
Purtroppo non ho ancora trovato la soluzione, ma la tesi mi piace (potrebbe anche essere banale...):
Trovare tutti gli insiemi finiti $ $S $ di punti nel piano tali che presi $ $A,B\in S $ l'asse del segmento $ $\overline{AB} $ è un asse di simmetria di $ $S $.
Insieme finito di punti con molte simmetrie (IMO 1999 ex 1)
Insieme finito di punti con molte simmetrie (IMO 1999 ex 1)
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Provo: $ S $ soddisfa la tesi se e solo se è composta da punti che sono vertici di un poligono regolare.
La condizione è sufficiente (banale).
La condizione è necessaria: infatti si uniscano i punti di S. Si otterrà un poligono (è costituito da un numero finito di punti). Si prendano tre vertici consecutivi di S, nell'ordine $ A,B,C $ si tracci $ AC $. Per la definizione di S, si vede facilmente che l'asse di AC deve passare per B, ossia esso è sia mediana sia altezza del triangolo $ ABC $, che di conseguenza è isoscele: $ \overline{AB} =\overline{BC} $.
Ripetendo col vertice ancora consecutivo, D, si ha che l'asse di BD deve passare per C, e di conseguenza come prima $ \overline{AB} =\overline{BC} =\overline{CD} $. Inoltre, tracciando l'asse del segmento BC, per la definizione di S deve anche essere $ \hat{ABC}=\hat{BCD} $. Ripetendo così, si ha che S è un poligono regolare.
La condizione è sufficiente (banale).
La condizione è necessaria: infatti si uniscano i punti di S. Si otterrà un poligono (è costituito da un numero finito di punti). Si prendano tre vertici consecutivi di S, nell'ordine $ A,B,C $ si tracci $ AC $. Per la definizione di S, si vede facilmente che l'asse di AC deve passare per B, ossia esso è sia mediana sia altezza del triangolo $ ABC $, che di conseguenza è isoscele: $ \overline{AB} =\overline{BC} $.
Ripetendo col vertice ancora consecutivo, D, si ha che l'asse di BD deve passare per C, e di conseguenza come prima $ \overline{AB} =\overline{BC} =\overline{CD} $. Inoltre, tracciando l'asse del segmento BC, per la definizione di S deve anche essere $ \hat{ABC}=\hat{BCD} $. Ripetendo così, si ha che S è un poligono regolare.
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
Ma anche no. Il poligono non è per forza convesso (che sarebbe la condizione che ti permette di ordinare in modo decente i vertici). Il problema è quando dici tre vertici consecutivi: dato un insieme finito qualunque di punti (prima di parlare di "consecutivo" non hai dato nessuna caratterizzazione dell'insieme) cosa vuol dire il "consecutivo" di un punto?Gauss91 ha scritto:Per la definizione di S, si vede facilmente che l'asse di AC deve passare per B
Se intendi collegare in modo qualunque i vertici in modo che formino un poligono, anche concavo o addirittura intrecciato, beh allora è semplicemente falso che l'asse di AC passa per B, basta che ci sia il simmetrico B'.
Azz c'hai ragione... Allora provo ad aggirare l'ostacolo così: si uniscano i punti di S in modo da formare un poligono non intrecciato (penso che sia sempre possibile e ad occhio non è difficile da dimostrare). In questo modo basta scegliere un vertice arbitrario e un "senso di rotazione" arbitrario e parlare di vertici consecutivi ha senso. O no? (Se sì, allora la mia dimostrazione sembrerebbe valida).
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
allora fallo...Gauss91 ha scritto:penso che sia sempre possibile e ad occhio non è difficile da dimostrare
Prendi i quattro vertici di un quadrato e il suo centro. Ovviamente non rispettano le condizioni del testo, ma la tua soluzione non dice nulla al riguardo. Infatti per far funzionare la tua, servirebbe che il poligono fosse convesso, ma quei cinque punti si possono collegare solo facendo un poligono concavo.Gauss91 ha scritto:Se sì, allora la mia dimostrazione sembrerebbe valida
E per concludere, hai dimostrato che S contiene un poligono regolare, non che è un poligono regolare. E, ad esser pignoli, non hai dimostrato neanche questo, avresti dovuto concludere dicendo che il ciclo prima o poi si chiude tornando al punto di partenza altrimenti i punti sono infiniti, e infine dimostrare che se il ciclo prima o poi si chiude (non è detto che lo faccia al primo giro, se no è banale (a dire il vero è detto se e solo se il poligono non è intrecciato)) allora il poligono è regolare.
.Prendi i quattro vertici di un quadrato e il suo centro. Ovviamente non rispettano le condizioni del testo, ma la tua soluzione non dice nulla al riguardo.
Come no? Sia quel poligono (concavo) ABCDE, con C corrispondente al vertice al centro. Traccia, come detto nella costruzione, AC, e prendine l'asse. Tale asse deve passare per B (per quanto detto), ma non lo fa, quindi il poligono non soddisfa le condizioni. Io ho supposto che S soddisfi le condizioni, e a partire da questo ho dimostrato che i punti di S sono vertici di un poligono regolare (o meglio, POSSONO essere collegati in modo da formare un poligono regolare. Poi li puoi collegare come vuoi, dato che sono solo punti). Il fatto di prendere (arbitrariamente) un poligono non intrecciato, è solo funzionale alla dimostrazione. Resta solo da dimostrare che un poligono non intrecciato è sempre costruibile a partire da un insieme di punti.
Sia $ P_n $ un poligono non intrecciato di $ n $ vertici $ A_1, ..., A_n $ , e sia $ X $ un punto esterno ad esso. E' sempre possibile scegliere due vertici consecutivi $ A_i $ e $ A_{i+1} $ tali che il triangolo $ A_iA_jX $ non contenga alcun vertice di $ P_n $ (questo lemma è banale ma non riesco a dimostrarlo... se qualcuno riesce gliene sarei grato!). Il poligono $ P_{n+1} $ di vertici $ A_1, ..., A_i, X, A_{i+1}, A_n $ è non intrecciato di $ n+1 $ vertici.Gauss91 ha scritto:
penso che sia sempre possibile e ad occhio non è difficile da dimostrare
allora fallo...
Così si dimostra che a partire da un poligono non intrecciato di $ n $ vertici e da un punto ad esso esterno, è possibile costruirne uno anche esso non intrecciato con $ n+1 $ vertici.
Siccome in S è possibile almeno prendere tre punti che formano un triangolo (mai intrecciato) che non contiene nessun altro dei punti di S, (e questo è banale: basta prenderne tre arbitrari, e se contengono uno o più vertici prendere di essi come "nuovo vertice" facendo rimanere invariati gli altri due, e continuare così fino a che nessun vertice è contenuto), allora è possibile, per induzione, unirli tutti in modo che formino un poligono non intrecciato.
Il problema ora rimane dimostrare quel lemma là...
C'è qualche altro problema?
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
Allora... io non ho capito la tua soluzione... che mi pare alquanto lacunosa :|
Assumendo anche per vero il lemma senza dimostrazione rimane un pezzo della dimostrazione che non capisco:
Assumendo anche per vero il lemma senza dimostrazione rimane un pezzo della dimostrazione che non capisco:
perchè :| tu qui dai per scontato che il poligono sia convesso... se è concavo non mi pare si possa dire una cosa del genere...Si prendano tre vertici consecutivi di S, nell'ordine A,B,C si tracci AC. Per la definizione di S, si vede facilmente che l'asse di AC deve passare per B
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Sarò io scemo :|
Ma continua a sembrarmi errata... Tu come diavolo definisci i "consecutivi"...
Pensa ai punti nel piano (0,0); (0,1);(1,0);(1,1),(2,-1); li unisco nell'ordine e formo un poligono non intrecciato... peccato che l'asse di (0,0) e (1,0) non incontra (0,1) eppure esiste il simmetrico di (0,1) rispetto a quell'asse e cioè (1,0).
Non so se sono stato chiaro xD
EDIT: prima sopra di me c'era un tuo messaggio :| l'hai cancellato? Oppure me lo sono sognato xD
Ma continua a sembrarmi errata... Tu come diavolo definisci i "consecutivi"...
Pensa ai punti nel piano (0,0); (0,1);(1,0);(1,1),(2,-1); li unisco nell'ordine e formo un poligono non intrecciato... peccato che l'asse di (0,0) e (1,0) non incontra (0,1) eppure esiste il simmetrico di (0,1) rispetto a quell'asse e cioè (1,0).
Non so se sono stato chiaro xD
EDIT: prima sopra di me c'era un tuo messaggio :| l'hai cancellato? Oppure me lo sono sognato xD
Ultima modifica di dario2994 il 11 dic 2009, 18:43, modificato 1 volta in totale.
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
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"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
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Azz è vero... ho sbagliato, perché pensavo che se ci fosse il simmetrico B' di B rispetto all'asse di AC, allora ABC non sarebbero stati consecutivi. Ma effettivamente ciò può succedere in particolari poligoni concavi.
Chiedo prima di tutto scusa a Julio dato che non avevo compreso il suo primo intervento, poi grazie a dario che me l'ha fatto ri-notare!
Comunque ho l'impressione che la soluzione finale era giusta, cioè devono essere vertici di un poligono regolare. Ma adesso è tutto da dimostrare!
Chiedo prima di tutto scusa a Julio dato che non avevo compreso il suo primo intervento, poi grazie a dario che me l'ha fatto ri-notare!
Comunque ho l'impressione che la soluzione finale era giusta, cioè devono essere vertici di un poligono regolare. Ma adesso è tutto da dimostrare!
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"