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Dato un numero intero positivo M la cui scrittura decimale e anan􀀀1 : : : a0 (cioe M e uguale a
10nan + + 10a1 +a0) con 0 a0; : : : ; an 9, sia f(M) = an + 2an􀀀1 + 22an􀀀2 + + 2na0
(si intende che se M = a0, f(M) = a0).
1) Si determini l'insieme X di tutti gli interi positivi per cui f(M) =M.
2) Si dimostri che, per ogni intero positivoM, la successione M; f(M); f(f(M)); f(f(f(M))); : : :
contiene un elemento di X.

Qualcuno me lo può postare formattato correttamente?

Non so nulla di queste cose. Voi cosa pensate, come incominciate?

Dato un numero intero positivo $ M $ la cui struttura decimale è $ \displaystyle a_na_{n-1}...a_0 $ (cioè $ M $ è uguale a $ 10^na_n+...+10a_1+a_0 $) con $ 0\le a_0,....,a_n\le 9 $ sia $ f(M)=a_n+2a_{n-1}+2^2a_{n-2}+...+2^na_0 $ (si intende che se $ M=a_0 $, $ f(M)=a_0 $.
1- Si determini l'insieme $ X $ di tutti gli interi positivi tali che $ f(M)=M $
2- Si dimostri che, per ogni intero positivo $ M $, la successione $ M $, $ f(M) $, $ f(f(M)) $, $ f(f(f(M))) $,..., contiene un elemento di $ X $.

Buona fortuna a voi risolutori, io mi ritiro perchè ho finito il tempo libero disponibile, se il problema resiste (ma non credo) la scriverò domani.

1. Fissato un numero $ n $ per ogni $ M $, il massimo valore che può assumere $ f(M) $ è $ 9 + 2\cdot9 + ... + 2^n\cdot 9 = 9(2^{n+1}-1) $, che è minore di $ 10^n $ (valore minimo che può assumere M) per $ n>1 $. Dunque bisogna ricercare solo tra $ n=0 $ e $ n=1 $. Per $ n=0 $ la tesi è banale, visto che $ f(M) = M $ vale per tutti i numeri di una cifra. Per $ n = 1 $ si trova facilmente (considerando che deve essere $ M \le 27 $), che solo $ M=19 $ soddisfa le condizioni. Quindi sarà $ X = {{1,2,3,4,5,6,7,8,9,19}} $

2. Si è visto che è sempre $ 0 < f(M) \le M $, quindi per ogni M, dopo un numero finito di passaggi, si arriverà o al $ 19 $ o ad un numero a una cifra, che appartiene ad X.