x^2+y^2+z^2+xyz=0
x^2+y^2+z^2+xyz=0
Mostrare che esistono infinite terne di interi x,y,z tali che x²+y²+z²+xyz=0.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Allora, innanzitutto salve a tutti sono nuovo 
Sostituisco (x^2 + y^2) = a^2 ottengo a^2 + z^2 +xyz = 0
Sostituendo xy = 2a ottengo a^2 + z^2 + 2az = (z+a)^2
Quindi ho il sistema formato da 1) (x^2+y^2) = a^2 e 2) xy=2a
A questo punto per ogni a ottengo una soluzione formata da un numero finito di (x,y,z) dove z=-a mentre x e y sono le soluzioni del sistema; ma a può assumere infiniti valori quindi ci sono infinite terne tali che x^2 + y^2 + z^2 +xyz = 0
Spero di non aver scritto una cavolata e mi scuso per aver usato ^ ma non so come scrivere in apice
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Sostituisco (x^2 + y^2) = a^2 ottengo a^2 + z^2 +xyz = 0
Sostituendo xy = 2a ottengo a^2 + z^2 + 2az = (z+a)^2
Quindi ho il sistema formato da 1) (x^2+y^2) = a^2 e 2) xy=2a
A questo punto per ogni a ottengo una soluzione formata da un numero finito di (x,y,z) dove z=-a mentre x e y sono le soluzioni del sistema; ma a può assumere infiniti valori quindi ci sono infinite terne tali che x^2 + y^2 + z^2 +xyz = 0
Spero di non aver scritto una cavolata e mi scuso per aver usato ^ ma non so come scrivere in apice
[/url][/tex]3+2 = 3chak3
3*2 = 3+3
3^2 = 3*3
3swush2 = 3^3
3*2 = 3+3
3^2 = 3*3
3swush2 = 3^3
Mostriamo che ci sono infinite terne $ \displaystyle~(x,y,z)\in\mathbb{N}_0^3 $ tali che $ \displaystyle~x^2+y^2+z^2=xyz $:
partiamo con $ \displaystyle~(3,3,3) $; ora data una soluzione $ \displaystyle~(x,y,z) $ con $ \displaystyle~x,y,z\ge2 $ ne costruiamo una nuova:
essendo l'equazione simmetrica senza perdita di generalità possiamo supporre $ \displaystyle~x\ge y\ge z $. L'equazione di 2° grado $ \displaystyle~t^2-(xy)t+(x^2+y^2)=0 $ in $ \displaystyle~t $ ammette una soluzione intera $ \displaystyle~t=z $, perciò ne ammette un'altra, che chiamiamo $ \displaystyle~u $, intera positiva (regola dei segni che insegnano a scuola). Essendo le soluzioni dell'equazione nella forma $ \displaystyle~\frac{xy}{2}\pm\frac{\sqrt{x^2y^2-4x^2-4y^2}}{2} $, visto che $ \displaystyle~z\le x\le \frac{xy}{2} $, abbiamo che $ \displaystyle~z=\frac{xy}{2}-\frac{\sqrt{x^2y^2-4x^2-4y^2}}{2} $. Quindi $ \displaystyle~u=\frac{xy}{2}+\frac{\sqrt{x^2y^2-4x^2-4y^2}}{2}>z $, visto che $ \displaystyle~x^2y^2-4x^2-4y^2\neq0 $ (infatti $ \displaystyle~x^2y^2-4x^2-4y^2=0 $ darebbe $ \displaystyle~(x+2)(x-2)(y+2)(y-2)=16 $ e dovendo $ \displaystyle~x-2 $ e $ \displaystyle~x+2 $ potenze di 2 che distano di 4 avremmo $ \displaystyle~x=6 $ e allo stesso modo $ \displaystyle~y=6 $, ma $ \displaystyle~8\cdot4\cdot8\cdot4\neq16 $; oppure si può anche dire che dovrebbe essere $ \displaystyle~z=\frac{xy}{2} $, da cui $ \displaystyle~x=y=z=2 $, che non risolve l'equazione..). A questo punto abbiamo una nuova terna $ \displaystyle~(x,y,u) $ che risolve il problema e che soddisfa $ \displaystyle~x,y,u\ge2 $. Anche permutandone i termini $ \displaystyle~x+y+u $ rimane costante e $ \displaystyle~x+y+u>x+y+z $. Possiamo iterare il procedimento per ottenere infinite soluzioni riordinando ogni volta l'ultima e trovando la soluzione associata, che avrà la somma dei termini maggiore rispetto a tutte le precedenti soluzioni. Questo basta per assicurare che sono tutte distinte.
partiamo con $ \displaystyle~(3,3,3) $; ora data una soluzione $ \displaystyle~(x,y,z) $ con $ \displaystyle~x,y,z\ge2 $ ne costruiamo una nuova:
essendo l'equazione simmetrica senza perdita di generalità possiamo supporre $ \displaystyle~x\ge y\ge z $. L'equazione di 2° grado $ \displaystyle~t^2-(xy)t+(x^2+y^2)=0 $ in $ \displaystyle~t $ ammette una soluzione intera $ \displaystyle~t=z $, perciò ne ammette un'altra, che chiamiamo $ \displaystyle~u $, intera positiva (regola dei segni che insegnano a scuola). Essendo le soluzioni dell'equazione nella forma $ \displaystyle~\frac{xy}{2}\pm\frac{\sqrt{x^2y^2-4x^2-4y^2}}{2} $, visto che $ \displaystyle~z\le x\le \frac{xy}{2} $, abbiamo che $ \displaystyle~z=\frac{xy}{2}-\frac{\sqrt{x^2y^2-4x^2-4y^2}}{2} $. Quindi $ \displaystyle~u=\frac{xy}{2}+\frac{\sqrt{x^2y^2-4x^2-4y^2}}{2}>z $, visto che $ \displaystyle~x^2y^2-4x^2-4y^2\neq0 $ (infatti $ \displaystyle~x^2y^2-4x^2-4y^2=0 $ darebbe $ \displaystyle~(x+2)(x-2)(y+2)(y-2)=16 $ e dovendo $ \displaystyle~x-2 $ e $ \displaystyle~x+2 $ potenze di 2 che distano di 4 avremmo $ \displaystyle~x=6 $ e allo stesso modo $ \displaystyle~y=6 $, ma $ \displaystyle~8\cdot4\cdot8\cdot4\neq16 $; oppure si può anche dire che dovrebbe essere $ \displaystyle~z=\frac{xy}{2} $, da cui $ \displaystyle~x=y=z=2 $, che non risolve l'equazione..). A questo punto abbiamo una nuova terna $ \displaystyle~(x,y,u) $ che risolve il problema e che soddisfa $ \displaystyle~x,y,u\ge2 $. Anche permutandone i termini $ \displaystyle~x+y+u $ rimane costante e $ \displaystyle~x+y+u>x+y+z $. Possiamo iterare il procedimento per ottenere infinite soluzioni riordinando ogni volta l'ultima e trovando la soluzione associata, che avrà la somma dei termini maggiore rispetto a tutte le precedenti soluzioni. Questo basta per assicurare che sono tutte distinte.
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)