Determinare per quali valori interi positivi di $ a $ le seguenti espressioni assumono valori interi:
1) $ \displaystyle\frac{a^2+30a}{3a+2} $
2) $ \displaystyle\frac{a+79}{2a^2+1} $
Esercizi base di TdN
Provo con la 1
Premessa:ho quasi 39 di febbre quindi non date per scontato che questa soluzione (non delle più "eleganti") vada bene.
$ \dfrac{a^2+30a}{3a+2}=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3a^2+90a}{3a+2}=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3a^2+2a+88a}{3a+2}=\dfrac{1}{3} \cdot \left(a+\dfrac{88a}{3a+2} \right)=\dfrac{1}{3} \cdot \left(a+\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{264a}{3a+2} \right)=\dfrac{1}{3} \cdot \left(a+\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{264a+176-176}{3a+2} \right)=\dfrac{1}{3} \cdot \left[a+\dfrac{1}{3} \cdot \left(88- \dfrac{176}{3a+2} \right) \right] $
E' evidente che,affinchè questa espressione dia come risultato un numero intero,si deve avere $ \dfrac{176}{3a+2} \in \mathbb{N} $. Si deduce che $ 3a+2 $ dev'essere un divisore di $ 176 $ congruo a $ 2 $ modulo $ 3 $. Questi divisori sono $ 8,11,44 $ e $ 176 $,a cui corrispondono i seguenti valori di $ a $ : $ 2,3,14 $ e $ 58 $. Sostituendo $ a $ con questi quattro numeri si nota che tutti e quattro danno un risultato intero.
Premessa:ho quasi 39 di febbre quindi non date per scontato che questa soluzione (non delle più "eleganti") vada bene.
$ \dfrac{a^2+30a}{3a+2}=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3a^2+90a}{3a+2}=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3a^2+2a+88a}{3a+2}=\dfrac{1}{3} \cdot \left(a+\dfrac{88a}{3a+2} \right)=\dfrac{1}{3} \cdot \left(a+\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{264a}{3a+2} \right)=\dfrac{1}{3} \cdot \left(a+\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{264a+176-176}{3a+2} \right)=\dfrac{1}{3} \cdot \left[a+\dfrac{1}{3} \cdot \left(88- \dfrac{176}{3a+2} \right) \right] $
E' evidente che,affinchè questa espressione dia come risultato un numero intero,si deve avere $ \dfrac{176}{3a+2} \in \mathbb{N} $. Si deduce che $ 3a+2 $ dev'essere un divisore di $ 176 $ congruo a $ 2 $ modulo $ 3 $. Questi divisori sono $ 8,11,44 $ e $ 176 $,a cui corrispondono i seguenti valori di $ a $ : $ 2,3,14 $ e $ 58 $. Sostituendo $ a $ con questi quattro numeri si nota che tutti e quattro danno un risultato intero.
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
Maledetti fisici! (cit.)
Maledetti fisici! (cit.)
Non ho controllato i conti, ma direi che è tutto ok. In generale basta fare una divisione fra polinomi e guardare quando il denominatore divide il resto (a proposito, esiste un algoritmo efficiente che mi permetta di calcolare il resto della divisione di due polinomi senza dover utilizzare il metodo classico, trovando cio' anche il quoziente?).
Nel secondo esempio invece, se il grado massimo del denominatore è maggiore del grado massimo del numeratore, esisterà un $ \displaystyle a $ per cui denominatore>numeratore e quindi la frazione non mi da più soluzioni intere. A questo punto basta che controllo un numero finito di casi (a mano o utilizzando altre tecniche) ed ho risolto.
Nel secondo esempio invece, se il grado massimo del denominatore è maggiore del grado massimo del numeratore, esisterà un $ \displaystyle a $ per cui denominatore>numeratore e quindi la frazione non mi da più soluzioni intere. A questo punto basta che controllo un numero finito di casi (a mano o utilizzando altre tecniche) ed ho risolto.
Quindi la 2 andrebbe risolta così:ndp15 ha scritto:Nel secondo esempio invece, se il grado massimo del denominatore è maggiore del grado massimo del numeratore, esisterà un $ \displaystyle a $ per cui denominatore>numeratore e quindi la frazione non mi da più soluzioni intere. A questo punto basta che controllo un numero finito di casi (a mano o utilizzando altre tecniche) ed ho risolto.
$ \dfrac{a+79}{2a^2+1} \in \mathbb{N} \Rightarrow a+79 \ge 2a^2+1 \Rightarrow 2a^2-a-78 \le 0 \Rightarrow -6 \le a \le \dfrac{13}{2} \Rightarrow $
$ \Rightarrow a \in \{1;2;3;4;5;6 \} $. Provando con questi sei valori si trova che l'unica soluzione è $ a=2 $
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
Maledetti fisici! (cit.)
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