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Determinare per quali valori interi positivi di $ a $ le seguenti espressioni assumono valori interi:
1) $ \displaystyle\frac{a^2+30a}{3a+2} $
2) $ \displaystyle\frac{a+79}{2a^2+1} $

Provo con la 1

Premessa:ho quasi 39 di febbre quindi non date per scontato che questa soluzione (non delle più "eleganti") vada bene.

$ \dfrac{a^2+30a}{3a+2}=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3a^2+90a}{3a+2}=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3a^2+2a+88a}{3a+2}=\dfrac{1}{3} \cdot \left(a+\dfrac{88a}{3a+2} \right)=\dfrac{1}{3} \cdot \left(a+\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{264a}{3a+2} \right)=\dfrac{1}{3} \cdot \left(a+\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{264a+176-176}{3a+2} \right)=\dfrac{1}{3} \cdot \left[a+\dfrac{1}{3} \cdot \left(88- \dfrac{176}{3a+2} \right) \right] $

E' evidente che,affinchè questa espressione dia come risultato un numero intero,si deve avere $ \dfrac{176}{3a+2} \in \mathbb{N} $. Si deduce che $ 3a+2 $ dev'essere un divisore di $ 176 $ congruo a $ 2 $ modulo $ 3 $. Questi divisori sono $ 8,11,44 $ e $ 176 $,a cui corrispondono i seguenti valori di $ a $ : $ 2,3,14 $ e $ 58 $. Sostituendo $ a $ con questi quattro numeri si nota che tutti e quattro danno un risultato intero.

Non ho controllato i conti, ma direi che è tutto ok. In generale basta fare una divisione fra polinomi e guardare quando il denominatore divide il resto (a proposito, esiste un algoritmo efficiente che mi permetta di calcolare il resto della divisione di due polinomi senza dover utilizzare il metodo classico, trovando cio' anche il quoziente?).
Nel secondo esempio invece, se il grado massimo del denominatore è maggiore del grado massimo del numeratore, esisterà un $ \displaystyle a $ per cui denominatore>numeratore e quindi la frazione non mi da più soluzioni intere. A questo punto basta che controllo un numero finito di casi (a mano o utilizzando altre tecniche) ed ho risolto.

ndp15 ha scritto:Nel secondo esempio invece, se il grado massimo del denominatore è maggiore del grado massimo del numeratore, esisterà un $ \displaystyle a $ per cui denominatore>numeratore e quindi la frazione non mi da più soluzioni intere. A questo punto basta che controllo un numero finito di casi (a mano o utilizzando altre tecniche) ed ho risolto.

Quindi la 2 andrebbe risolta così:

$ \dfrac{a+79}{2a^2+1} \in \mathbb{N} \Rightarrow a+79 \ge 2a^2+1 \Rightarrow 2a^2-a-78 \le 0 \Rightarrow -6 \le a \le \dfrac{13}{2} \Rightarrow $
$ \Rightarrow a \in \{1;2;3;4;5;6 \} $. Provando con questi sei valori si trova che l'unica soluzione è $ a=2 $