Siano a,b,c reali positivi tali che $ a+b+c=3 $. Dimostrare che
$ $ \frac{1}{2+a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{2+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{2+c^{2}+a^{2}}\leq\frac{3}{4} $ $
Disuguaglianza "moderna"
uh, qualcuno alla fine ha risposto! Mi ero già quasi dimenticato di aver postato questo problema! 
Beh, di approcci ovvi io non ne ho trovati, conosco tre soluzioni (due che ai tempi avevo trovato io, un'altra poi me l'ha detta Giove) completamente diverse tra di loro e che richiedono tutte in ogni caso qualche accortezza (e in questo senso anche abbastanza istruttive).
Inizio cmq con un hint per la seconda soluzione che avevo trovato, che è forse la più breve e semplice: cosa succede mandando $ a $ e $ b $ nella loro media aritmetica?
Beh, di approcci ovvi io non ne ho trovati, conosco tre soluzioni (due che ai tempi avevo trovato io, un'altra poi me l'ha detta Giove) completamente diverse tra di loro e che richiedono tutte in ogni caso qualche accortezza (e in questo senso anche abbastanza istruttive).
Inizio cmq con un hint per la seconda soluzione che avevo trovato, che è forse la più breve e semplice: cosa succede mandando $ a $ e $ b $ nella loro media aritmetica?
Fabio91
Avrei una soluzione basata sulla concavità di una funzione.
Intanto osservo che è:
$ \displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2}{3} \geq (\frac{a+b+c}{3})^2=1 $
e quindi:
(1) $ \displaystyle a^2+b^2+c^2 \geq 3 $
Considero ora la funzione $ \displaystyle f(x)=\frac{1}{2+x} $ per x>0,la cui derivata è $ \displaystyle f'(x)=-\frac{1}{(2+x)^2}<0 $
Pertanto,essendo la f(x) concava in $ \displaystyle R^{+} $,è :
$ \displaystyle \frac{f(\alpha)+f(\beta)+f(\gamma)}{3}\leq f(\frac{\alpha+\beta+\gamma)}{3}) $
Scegliamo ora :
$ \displaystyle \alpha=a^2+b^2,\beta=b^2+c^2,\gamma=c^2+a^2 $ e quindi sostituendo avremo:
$ \displaystyle \frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}+\frac{1}{2+c^2+a^2} \leq $ $ \displaystyle 3 \cdot \frac{1}{2+\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{3}} $
Ovvero:
$ \displaystyle \frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}+\frac{1}{2+c^2+a^2} \leq $ $ \displaystyle \frac{9}{6+2(a^2+b^2+c^2)} $
Allora per la (1) avremo:
$ \displaystyle \frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}+\frac{1}{2+c^2+a^2} \leq $ $ \displaystyle \frac{9}{6+6}=\frac{3}{4} $
C.V.D.
Edit
E' meglio non leggere...
Intanto osservo che è:
$ \displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2}{3} \geq (\frac{a+b+c}{3})^2=1 $
e quindi:
(1) $ \displaystyle a^2+b^2+c^2 \geq 3 $
Considero ora la funzione $ \displaystyle f(x)=\frac{1}{2+x} $ per x>0,la cui derivata è $ \displaystyle f'(x)=-\frac{1}{(2+x)^2}<0 $
Pertanto,essendo la f(x) concava in $ \displaystyle R^{+} $,è :
$ \displaystyle \frac{f(\alpha)+f(\beta)+f(\gamma)}{3}\leq f(\frac{\alpha+\beta+\gamma)}{3}) $
Scegliamo ora :
$ \displaystyle \alpha=a^2+b^2,\beta=b^2+c^2,\gamma=c^2+a^2 $ e quindi sostituendo avremo:
$ \displaystyle \frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}+\frac{1}{2+c^2+a^2} \leq $ $ \displaystyle 3 \cdot \frac{1}{2+\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{3}} $
Ovvero:
$ \displaystyle \frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}+\frac{1}{2+c^2+a^2} \leq $ $ \displaystyle \frac{9}{6+2(a^2+b^2+c^2)} $
Allora per la (1) avremo:
$ \displaystyle \frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}+\frac{1}{2+c^2+a^2} \leq $ $ \displaystyle \frac{9}{6+6}=\frac{3}{4} $
C.V.D.
Edit
E' meglio non leggere...
Ultima modifica di karl il 08 feb 2010, 21:42, modificato 1 volta in totale.
beh, ma perché una funzione sia concava serve che la sua derivata prima sia decrescente, o in modo equivalente, che la sua derivata seconda sia minore di 0.
Nel tuo caso invece hai solo fatto vedere che la derivata prima è minore di 0, che però non serve a nulla per valutare la concavità di una funzione.
E inoltre nel nostro caso la funzione (purtroppo) è convessa...
Nel tuo caso invece hai solo fatto vedere che la derivata prima è minore di 0, che però non serve a nulla per valutare la concavità di una funzione.
E inoltre nel nostro caso la funzione (purtroppo) è convessa...
Fabio91
non per mettere fretta, ma dato che è stato rispolverato questo topic vecchio di due mesi, magari sarebbe bene lasciare una soluzione ai posteri prima che cada definitivamente nel dimenticatoio! 
non è un problema facile, lo riconosco, quindi ingrandisco un po' gli hint:
-per la "soluzione 2" di cui sopra il suggerimento di mandare $ a $ e $ b $ nella loro media aritmetica conserva la condizione $ a+b+c=3 $ e fa crescere il membro a sinistra della disuguaglianza, purché $ a $ e $ b $siano scelti come i due più piccoli tra i tre numeri. detto questo di fatto ci si riduce ad una disuguaglianza in una variabile, che si fa. (beh, intendiamoci, questa è la linea guida, ma ora occorre dimostrare il tutto!)
-per la "soluzione 1" (ovvero la mia prima) si tratta di omogenizzare, svolgere tutti i calcoli e vedere cosa viene: è una soluzione che non vi proporrei neanche se poi si concludesse banalmente con bunching (o schur).. anzi servono alcune idee (neanche troppo banali, forse) e quelle giuste, e credo sia istruttivo provarci. [piccola puntualizzazione, non è per cattiveria che non vi scrivo già lo sviluppo in sommatorie, anche quello è allenamento, riuscire a farlo in 20 minuti significa molto rispetto a finirlo dopo un'ora - vabbé, eventualmente se nessuno se lo fa lo pubblicherò io nei prossimi giorni ]
-la soluzione 3 (quella di Giove) vedrò di ricostruirla prima o poi...
non è un problema facile, lo riconosco, quindi ingrandisco un po' gli hint:
-per la "soluzione 2" di cui sopra il suggerimento di mandare $ a $ e $ b $ nella loro media aritmetica conserva la condizione $ a+b+c=3 $ e fa crescere il membro a sinistra della disuguaglianza, purché $ a $ e $ b $siano scelti come i due più piccoli tra i tre numeri. detto questo di fatto ci si riduce ad una disuguaglianza in una variabile, che si fa. (beh, intendiamoci, questa è la linea guida, ma ora occorre dimostrare il tutto!)
-per la "soluzione 1" (ovvero la mia prima) si tratta di omogenizzare, svolgere tutti i calcoli e vedere cosa viene: è una soluzione che non vi proporrei neanche se poi si concludesse banalmente con bunching (o schur).. anzi servono alcune idee (neanche troppo banali, forse) e quelle giuste, e credo sia istruttivo provarci. [piccola puntualizzazione, non è per cattiveria che non vi scrivo già lo sviluppo in sommatorie, anche quello è allenamento, riuscire a farlo in 20 minuti significa molto rispetto a finirlo dopo un'ora - vabbé, eventualmente se nessuno se lo fa lo pubblicherò io nei prossimi giorni
]-la soluzione 3 (quella di Giove) vedrò di ricostruirla prima o poi...
Fabio91
Allora io metto una soluzione 4. Per la precisione, è un miglioramento di quella di karl.
Infatti l'idea in sé era buona, mancava "solo" la concavità.
Prendo la funzione $ y=\frac{1}{1+x^2} $. La funzione è concava se x<2. In questo caso si conclude con disuguaglianza di concavità + medie. (Le variabili ovvie)
Wlog $ a^2\geq b^2\geq c^2 $.
Manca il caso $ a^2+b^2\geq 4 $. (quindi $ a^2\geq 2 $)
Se $ b^2+c^2\geq 1 $ si ha $ LHS\leq \frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}= \frac{3}{4} $.
Se $ b^2+c^2= x^2 \leq 1 $ per AM-QM: $ b+c\leq \sqrt{2} x $
Allora $ a^2\geq 2x^2-3\sqrt{2} x +9 $. Si tratta di una parabola con ascissa del vertice maggiore di 1. ($ 0\leq x\leq 1 $).
Allora $ a^2\geq 2-3\sqrt{2} +9\geq 6 $.
Ma se $ a^2\geq 6 $ : $ LHS\leq \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{2}= \frac{3}{4} $.
P.S.
Mi sono appena accorto che potevo anche non dividere i valori di $ b^2+c^2 $.
e poi in funzioni simmetriche elementari è (o dovrebbe essere):
$ 24+8s^3+6q^3+6s^3p+4sp+3p^2+8s^2q \leq 16q+10q^2+12sqp+3s^2q^2+2s^4 $.
Omogenizzata:
$ 1458q^3+1566s^3p+729p^2+168s^4q \leq 22s^6 + 2916sqp+999s^2q^2 $.
Infatti l'idea in sé era buona, mancava "solo" la concavità.
Prendo la funzione $ y=\frac{1}{1+x^2} $. La funzione è concava se x<2. In questo caso si conclude con disuguaglianza di concavità + medie. (Le variabili ovvie)
Wlog $ a^2\geq b^2\geq c^2 $.
Manca il caso $ a^2+b^2\geq 4 $. (quindi $ a^2\geq 2 $)
Se $ b^2+c^2\geq 1 $ si ha $ LHS\leq \frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}= \frac{3}{4} $.
Se $ b^2+c^2= x^2 \leq 1 $ per AM-QM: $ b+c\leq \sqrt{2} x $
Allora $ a^2\geq 2x^2-3\sqrt{2} x +9 $. Si tratta di una parabola con ascissa del vertice maggiore di 1. ($ 0\leq x\leq 1 $).
Allora $ a^2\geq 2-3\sqrt{2} +9\geq 6 $.
Ma se $ a^2\geq 6 $ : $ LHS\leq \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{2}= \frac{3}{4} $.
P.S.
Mi sono appena accorto che potevo anche non dividere i valori di $ b^2+c^2 $.
e poi in funzioni simmetriche elementari è (o dovrebbe essere):
$ 24+8s^3+6q^3+6s^3p+4sp+3p^2+8s^2q \leq 16q+10q^2+12sqp+3s^2q^2+2s^4 $.
Omogenizzata:
$ 1458q^3+1566s^3p+729p^2+168s^4q \leq 22s^6 + 2916sqp+999s^2q^2 $.
Non si smette mai di imparare.
Ecc'hai ragione! Non so perché continuo ancora a fidarmi dei miei calcoli...
Comunque si aggiusta facilmente.
E in un modo molto carino!
Anzi: rilancio!
Poniamo che voi vi troviate nella mia situazione. Scoprite questo errore che fa cadere tutta quanta la vostra argomentazione... che fate? Ricominciate tutto da capo?...noo, c'è troppo poco tempo (o poca voglia): come si aggiusta il fatto che qualla funzione non sia concava?
@Fabio91: sì, intendevo $ \frac{1}{2+x^2} $.
Comunque si aggiusta facilmente.
E in un modo molto carino!Anzi: rilancio!
Poniamo che voi vi troviate nella mia situazione. Scoprite questo errore che fa cadere tutta quanta la vostra argomentazione... che fate? Ricominciate tutto da capo?...noo, c'è troppo poco tempo (o poca voglia): come si aggiusta il fatto che qualla funzione non sia concava?
@Fabio91: sì, intendevo $ \frac{1}{2+x^2} $.
Non si smette mai di imparare.
ma nel senso che cambi funzione?? perché se considero la funzione $ f(x)=\frac{1}{2+x^2} $, allora anzi, per
$ x+y+z\geq 3\sqrt{2} $ (come nel nostro caso) vale al contrario $ \displaystyle \frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3}\geq f(\frac{x+y+z}{3}) $ (e questo perché se $ a \geq \sqrt{2} $ allora la tangente a $ f $ nel punto di ascissa $ a $ sta tutta sotto il grafico della funzione...)
$ x+y+z\geq 3\sqrt{2} $ (come nel nostro caso) vale al contrario $ \displaystyle \frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3}\geq f(\frac{x+y+z}{3}) $ (e questo perché se $ a \geq \sqrt{2} $ allora la tangente a $ f $ nel punto di ascissa $ a $ sta tutta sotto il grafico della funzione...)
Fabio91
@Fabio91: 'in un certo senso' sì, cambio funzione: alla fin fine la concavità dev'esserci! Però non dev'essere niente che esca completamente dalle linee già tracciate (tipo: non va bene $ -e^x $).
Do una serie di "hint", in ordine di "pesantezza" (iniziare dall'1, più leggero).
Hint1:la funzione precedentemente considerata è almeno un po' concava
Hint2:la funzione considerata è più concava di quella karliana
Hint3:allora sarà sempre più concava al crescere dell'esponente
Hint4:non sarà mai abbastanza concava da escludere ogni valore di [tex[a^2+b^2\leq 2[/tex[, ma...
Hint5:[tex[lim_{x\rightarrow \infinity}^n\sqrt{\frac{n-1}{n+1}} =1[/tex[
p.s. come si nascondono le formule?
Do una serie di "hint", in ordine di "pesantezza" (iniziare dall'1, più leggero).
Hint1:la funzione precedentemente considerata è almeno un po' concava
Hint2:la funzione considerata è più concava di quella karliana
Hint3:allora sarà sempre più concava al crescere dell'esponente
Hint4:non sarà mai abbastanza concava da escludere ogni valore di [tex[a^2+b^2\leq 2[/tex[, ma...
Hint5:[tex[lim_{x\rightarrow \infinity}^n\sqrt{\frac{n-1}{n+1}} =1[/tex[
p.s. come si nascondono le formule?
Non si smette mai di imparare.
ok, se ho capito quello che vuoi fare stai considerando la funzione $ f(x)=\frac{1}{2+x^n} $. bene, questa è concava per $ x\leq\sqrt[n]{2(\frac{n-1}{n+1})} $, ma d'altra parte abbiamo che $ x^n+y^n+z^n \geq 6 $ quindi almeno uno di essi sta fuori dall'intervallo di concavità. e poi cmq ne sarebbe fuori anche $ \frac{3}{4}=f(\sqrt[n]{2}) $, il che crea (almeno a me) non pochi fastidi... 
Fabio91
Uffffff.....
Sono Terribile....sbaglio i calcoli quasi quotidianamente! (e dunque in tutte le gare...)
Devo proprio allenarmi su questo frangente...
Sì l'idea era quella.
Permette di eliminare i casi in cui $ a^2+b^2\leq 2 $ quando l'obiettivo era di avere un 4 al posto del 2.... (praticamente, non si è raggiunto nulla...).
Beh, sono convinto che si aggiusti ancora, ma non facilmente.
Ci provo mentre scrivo.
Innanzitutto per $ a^2+b^2\leq 1 $ e $ a^2+b^2\geq 4 $ abbiamo già dimostrato.
Quindi ci manca $ 1\leq a^2+b^2\leq 4 $.
Dobbiamo riciclare l'idea.
Prendiamo $ \frac{1}{3+x^n} $. (col 3 perchè abbiamo scoperto che queste funzioni sono concave solo vicino allo zero).
Anzi, per non far tendere all'infinito n, prendiamo direttamente $ \frac{1}{3+e^x} $.
Derivata seconda..........
$ \frac{e^x}{(3+e^x)^3}\cdot (e^x-3) $. Perfetto.
Applichiamo la disuguaglianza di concavità...
dunque ci resta da dimostrare che $ \Pi_{cyc}(a^2+b^2-1) \geq 1 $.
Spero tanto a questo punto che sia vero...(non lo è sempre)
Sono Terribile....sbaglio i calcoli quasi quotidianamente! (e dunque in tutte le gare...)
Devo proprio allenarmi su questo frangente...
Sì l'idea era quella.
Permette di eliminare i casi in cui $ a^2+b^2\leq 2 $ quando l'obiettivo era di avere un 4 al posto del 2.... (praticamente, non si è raggiunto nulla...).
Beh, sono convinto che si aggiusti ancora, ma non facilmente.
Ci provo mentre scrivo.
Innanzitutto per $ a^2+b^2\leq 1 $ e $ a^2+b^2\geq 4 $ abbiamo già dimostrato.
Quindi ci manca $ 1\leq a^2+b^2\leq 4 $.
Dobbiamo riciclare l'idea.
Prendiamo $ \frac{1}{3+x^n} $. (col 3 perchè abbiamo scoperto che queste funzioni sono concave solo vicino allo zero).
Anzi, per non far tendere all'infinito n, prendiamo direttamente $ \frac{1}{3+e^x} $.
Derivata seconda..........
$ \frac{e^x}{(3+e^x)^3}\cdot (e^x-3) $. Perfetto.
Applichiamo la disuguaglianza di concavità...
dunque ci resta da dimostrare che $ \Pi_{cyc}(a^2+b^2-1) \geq 1 $.
Spero tanto a questo punto che sia vero...(non lo è sempre)
Non si smette mai di imparare.