stagione delle disuguaglianze

[Maioc92]

visto che in questo periodo spuntano come funghi questo tipo di problemi ne vorrei proporre una che, seppur dal testo molto semplice, è carina (il che significa che probabilmente per voi sarà semplice, ma vabbè). Eccola:
Dati $ x,y,z\in\mathbb R^+ $ tali che $ xyz=1 $, dimostrare che:
$ \displaystyle\frac x y+\frac y z+\frac z x\ge x+y+z $

Divertitevi

EDIT:Bonus question: mi sono accorto che esistono molte soluzioni, quindi come al solito vediamo quante soluzioni diverse riuscite a trovare

[kn]

1) Poniamo $ \displaystyle~x=a^3,y=b^3,z=c^3 $. La disuguaglianza è equivalente a
$ \displaystyle~\sum_{cyc}a^6c^3\ge\sum_{cyc}a^3 $, con $ \displaystyle~abc=1 $
o anche sfruttando l'ipotesi:
$ \displaystyle~\sum_{cyc}a^6c^3\ge\sum_{cyc}a^5b^2c^2 $
Miracolosamente: (AM-GM pesata)
$ \displaystyle~\frac{2}{3}a^6c^3+\frac{1}{3}b^6a^3\ge (a^6c^3)^\frac{2}{3}(b^6a^3)^\frac{1}{3}=a^5b^2c^2 $
Sommata alle disequazioni corrispondenti con le variabili permutate ciclicamente, dà la tesi.

[danielf]

1) Poniamo $ \displaystyle~x=a^3,y=b^3,z=c^3 $. La disuguaglianza è equivalente a
$ \displaystyle~\sum_{cyc}a^6c^3\ge\sum_{cyc}a^3 $, con $ \displaystyle~abc=1 $
o anche sfruttando l'ipotesi:
$ \displaystyle~\sum_{cyc}a^6c^3\ge\sum_{cyc}a^5b^2c^2 $
Miracolosamente: (AM-GM pesata)
$ \displaystyle~\frac{2}{3}a^6c^3+\frac{1}{3}b^6a^3\ge (a^6c^3)^\frac{2}{3}(b^6a^3)^\frac{1}{3}=a^5b^2c^2 $
Sommata alle disequazioni corrispondenti con le variabili permutate ciclicamente, dà la tesi.

perchè puoi porre abc=1?

[Maioc92]

@kn: ottimo. Questa è la seconda soluzione che mi è venuta in mente (in genere uso sempre AM-GM, ma questa volta avevo in mente il riarrangiamento). Ora qualcuno vuole proporre altre soluzioni??
Ne esiste anche una che fa uso di una sostituzione diversa

@danielf: per come ha preso a,b,c si ha che $ (abc)^3=1 $ (è nell'ipotesi del problema che xyz=1), quindi $ abc=1 $

[karl]

Si ha:
(1 ) $ \displaystyle 2\frac{x}{y}+\frac{y}{z}=\frac{x}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z} $$ \displaystyle\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^2}{yz}}=3\sqrt[3]{\frac{x^2}{1/x}}=3\sqrt[3]{x^3}=3x $
Analogamente :
(2) $ \displaystyle 2\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{y^2}{zx}}=3y $
(3) $ \displaystyle 2\frac{z}{x}+\frac{x}{y}\geq 3\sqrt[3]{\frac{z^2}{xy}}=3z $
Sommando (1),(2) e (3) si ha :
$ \displaystyle 3\frac{x}{y}+2\frac{y}{z}+3\frac{z}{x}\geq 3x+3y+3z $
e dividendo per 3 segue la tesi.