Dimostrare che è :
$ \displaystyle \frac{ab}{a^8+b^8+ab}+\frac{bc}{b^8+c^8+bc}+\frac{ca}{c^8+a^8+ca} \leq 1 $
dove a,b,c >0 e abc=1
Rimanendo... con le diseguaglianze
Svolgendo tutti i calcoli e omogeneizzando la disuguaglianza da dimostrare diventa:
$ \displaystyle\sum_{sym}a^{16}b^8\ge\sum_{sym}a^{13}b^6c^5 $
Questo si può dimostrare in vari modi:
1)Per bunching. Va di moda quindi lo metto
2)Per AM-GM
$ \displaystyle\sum_{cyc}(\frac 3 8a^{16}b^8+\frac 3 8a^{16}c^8+\frac 1 8a^8b^{16}+\frac 1 8b^8c^{16})\ge\sum_{cyc}\sqrt[8]{a^{104}b^{48}c^{40}}=\sum_{cyc}a^{13}b^6c^5 $
$ \displaystyle\sum_{cyc}(\frac 3 8a^8b^{16}+\frac 3 8b^{16}c^8+\frac 1 8a^{16}b^8+\frac 1 8a^8c^{16})\ge\sum_{cyc}\sqrt[8]{a^{48}b^{104}c^{40}}=\sum_{cyc}a^6b^{13}c^5 $
Le 2 precedenti sommate mi danno la tesi
3)Per riarrangiamento. La disuguaglianza è simmetrica quindi si può supporre WLOG l'ordine delle variabili, e con un paio di casi ($ ac\le b^2 $, $ ac\ge b^2 $, altrimenti non si riesce a dare un ordinamento ai prodotti) si sistema il tutto. Se qualcuno ha voglia lo può esplicitare, non vorrei rubare tutto il lavoro agli altri
Bonus question (non troppo difficile): determinare la minima costante $ k $ tale che $ \displaystyle\sum_{cyc}\frac{ab}{a^8+b^8+ab}\le k $ per ogni terna $ a,b,c $ di reali positivi
$ \displaystyle\sum_{sym}a^{16}b^8\ge\sum_{sym}a^{13}b^6c^5 $
Questo si può dimostrare in vari modi:
1)Per bunching. Va di moda quindi lo metto
2)Per AM-GM
$ \displaystyle\sum_{cyc}(\frac 3 8a^{16}b^8+\frac 3 8a^{16}c^8+\frac 1 8a^8b^{16}+\frac 1 8b^8c^{16})\ge\sum_{cyc}\sqrt[8]{a^{104}b^{48}c^{40}}=\sum_{cyc}a^{13}b^6c^5 $
$ \displaystyle\sum_{cyc}(\frac 3 8a^8b^{16}+\frac 3 8b^{16}c^8+\frac 1 8a^{16}b^8+\frac 1 8a^8c^{16})\ge\sum_{cyc}\sqrt[8]{a^{48}b^{104}c^{40}}=\sum_{cyc}a^6b^{13}c^5 $
Le 2 precedenti sommate mi danno la tesi
3)Per riarrangiamento. La disuguaglianza è simmetrica quindi si può supporre WLOG l'ordine delle variabili, e con un paio di casi ($ ac\le b^2 $, $ ac\ge b^2 $, altrimenti non si riesce a dare un ordinamento ai prodotti) si sistema il tutto. Se qualcuno ha voglia lo può esplicitare, non vorrei rubare tutto il lavoro agli altri
Bonus question (non troppo difficile): determinare la minima costante $ k $ tale che $ \displaystyle\sum_{cyc}\frac{ab}{a^8+b^8+ab}\le k $ per ogni terna $ a,b,c $ di reali positivi
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
$ \displaystyle~k\le3 $, essendo $ \displaystyle~ab\le a^8+b^8+ab $. Ora ponendo $ \displaystyle~a=b=c=\frac{1}{m},m\in\mathbb{R}^+ $ la somma diventa $ \displaystyle~3\cdot\frac{1}{\frac{2}{m^6}+1} $, che tende a 3 per $ \displaystyle~m\to\infty $. Quindi $ ~k=3 $
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)
Chiedo scusa se posto anche la mia soluzione perché mi sembra divertente
e perché il quesito è un mio personale rifacimento.
Partiamo dall'ovvia relazione:
$ \displaystyle (a^5-b^5)(a^3-b^3)\geq 0 $
da cui:
$ \displaystyle a^8+b^8\geq a^5b^3+a^3b^5=a^3b^3(a^2+b^2) $
Pertanto avremo:
$ \displaystyle \sum_{cyc}\frac{ab}{a^8+b^8+ab}\leq \sum_{cyc}\frac{ab}{a^3b^3(a^2+b^2)+ab}=\sum_{cyc}\frac{1}{a^2b^2(a^2+b^2)+1} $
Ma $ \displaystyle a^2b^2=\frac{1}{c^2} $ e quindi si ha:
$ \displaystyle \displaystyle \sum_{cyc}\frac{ab}{a^8+b^8+ab}\leq \sum_{cyc}\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}=1 $
C.V.D.
P.S. Senza nulla voler togliere alle capacità di calcolo di Maioc92 devo confessare
di nutrire una profonda avversione per il "bunching"
e perché il quesito è un mio personale rifacimento.
Partiamo dall'ovvia relazione:
$ \displaystyle (a^5-b^5)(a^3-b^3)\geq 0 $
da cui:
$ \displaystyle a^8+b^8\geq a^5b^3+a^3b^5=a^3b^3(a^2+b^2) $
Pertanto avremo:
$ \displaystyle \sum_{cyc}\frac{ab}{a^8+b^8+ab}\leq \sum_{cyc}\frac{ab}{a^3b^3(a^2+b^2)+ab}=\sum_{cyc}\frac{1}{a^2b^2(a^2+b^2)+1} $
Ma $ \displaystyle a^2b^2=\frac{1}{c^2} $ e quindi si ha:
$ \displaystyle \displaystyle \sum_{cyc}\frac{ab}{a^8+b^8+ab}\leq \sum_{cyc}\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}=1 $
C.V.D.
P.S. Senza nulla voler togliere alle capacità di calcolo di Maioc92 devo confessare
di nutrire una profonda avversione per il "bunching"
Tranquillo, l'autostima delle mie capacità di calcolo è intattakarl ha scritto: P.S. Senza nulla voler togliere alle capacità di calcolo di Maioc92 devo confessare
di nutrire una profonda avversione per il "bunching"
Comunque anche a me non piace molto, infatti ho proposto altre 2 soluzioni proprio per questo.
P.S:bella soluzione!!!Io in genere se i calcoli sono fattibili non ci provo nemmeno a trovare una soluzione cosi elegante, perchè lavorare con un'espressione lineare è molto più semplice che farlo con una somma di frazioni.
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
