polinomi ciclotomici
Inviato: 06 gen 2010, 15:26
guardando vecchi post ho letto questa cosa per risolvere un problema di algebra delle provinciali,trovando l'argomento praticamente sconosciuto:
la prima domanda è:che cos'è un polinomio ciclotomico?jordan ha scritto:Bah, manco tanto..Tibor Gallai ha scritto:$ ~x^{16}+x = x(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)(x^2-x+1)(x^8+x^7-x^5-x^4-x^3+x^2+1) $
Ok, e chi ci dice che quegli ultimi 3 polinomi siano irriducibili? Le risposte multiple arrivano fino a 5, ma noi siamo come S. Tommaso. Purtroppo qui il bagaglio olimpico standard si ferma..
Lemma. Sia $ \phi_n(x) $ l'n-esimo polinomio ciclotomico: se n è primo allora $ \phi_n(x) $ è irriducibile (segue direttamente da Eisenstein considerando $ \phi(x+1) $).
1. $ x^2-x+1=\phi_3(-x) $ è irriducibile.
2. $ x^4-x^3+x^2-x+1)=\phi_5(-x) $ è irriducibile.
3. $ x^8+x^7-x^5-x^4-x^3+x^2+1 $ ha come radici $ \{-\epsilon_{15},-\epsilon_{15}^2,-\epsilon_{15}^4,-\epsilon_{15}^7\} $ e relativi coniugati; se ha fattori allora essi hanno grado pari: se un fattore ha grado 2 allora $ |2Re(\epsilon_{15}^i)|=1 $ con $ i \in \{1,2,4,7\} $, impossibile; allora si scomporrà in due polinomi (irriducibili) di quarto grado entrambi monici con lo stesso termini noto di modulo unitario, che è impossibile (facile da verificare a mano).
