Sia $ \displaystyle A \subset \mathbb R^3 $ il più grande insieme su cui sia definita la funzione:
$ \displaystyle f(x,y,z) = \frac{xy}{x^2 + y^2 + z^2 + xy} $
Trovare il massimo e il minimo di $ \displaystyle f $ su A, se esistono.
(preferibilmente senza cannoni, visto che si può fare )
Max e min di una funzione.
Ci provo...
Per il dominio non ho nulla da aggiungere a quello scritto da kn.
Poi, per il massimo devo minimizzare il denominatore e massimizzare il numeratore. $ z=0 $ minimizza e quindi il denominatore diventa: $ x^2+y^2+xy=(x+y)^2-xy $. Ora posso supporre che y e x siano entrambi positivi, perchè cambiando i segni insieme la frazione non cambia, e se hanno segni discordi la frazione è negativa e quindi non ci interessa. Posso quindi porre $ x=y-a $ con $ 0 \le a \le y $ La frazione diventa: $ \frac{y(y-a)} {3y(y-a)+a^2} $ quindi con $ a=0 $ si dovrebbe raggiungere il massimo, cioè $ 1/3 $
Per quanto riguarda il minimo dovrebbe essere -1, perchè se pongo
$ x=-y $ la frazione diventa -1 e se provo a risolvere $ \frac{xy} {x^2+y^2+xy} <-1 $ ottengo che $ (x+y)^2<0 $ che è impossibile.
E' giusto?
Per il minimo non ho usato però un metodo costruttivo, ho notato questa cosa e basta, c'è un metodo per procedere in generale?
Io sono di 3^, posso comprendere quei cannoni di cui parlava Pigkappa?
Per il dominio non ho nulla da aggiungere a quello scritto da kn.
Poi, per il massimo devo minimizzare il denominatore e massimizzare il numeratore. $ z=0 $ minimizza e quindi il denominatore diventa: $ x^2+y^2+xy=(x+y)^2-xy $. Ora posso supporre che y e x siano entrambi positivi, perchè cambiando i segni insieme la frazione non cambia, e se hanno segni discordi la frazione è negativa e quindi non ci interessa. Posso quindi porre $ x=y-a $ con $ 0 \le a \le y $ La frazione diventa: $ \frac{y(y-a)} {3y(y-a)+a^2} $ quindi con $ a=0 $ si dovrebbe raggiungere il massimo, cioè $ 1/3 $
Per quanto riguarda il minimo dovrebbe essere -1, perchè se pongo
$ x=-y $ la frazione diventa -1 e se provo a risolvere $ \frac{xy} {x^2+y^2+xy} <-1 $ ottengo che $ (x+y)^2<0 $ che è impossibile.
E' giusto?
Per il minimo non ho usato però un metodo costruttivo, ho notato questa cosa e basta, c'è un metodo per procedere in generale?
Io sono di 3^, posso comprendere quei cannoni di cui parlava Pigkappa?
Ultima modifica di pippo93 il 22 gen 2010, 23:29, modificato 1 volta in totale.
Sìpippo93 ha scritto: E' giusto?
No, penso di no. L'esercizio proviene da una prova di analisi 3 in cui suggerivano come ricondursi ad un dominio compatto e si aspettavano poi di veder usati i moltiplicatori di Lagrange.pippo93 ha scritto:Io sono di 3^, posso comprendere quei cannoni di cui parlava Pigkappa?
Comunque potevate anche sforzarvi e dire perchè il dominio è quello...