Cesenatico 96

[Zorro_93]

Salve... vorrei sapere se concordate sulla soluzione di questo esercizio:
Si dimostri che l'equazione $ $$a^2+b^2=c^2+3$$ $ ammette come soluzioni infinite terne di interi $ a,b,c $










Pongo $ $a=c-1$ $, quindi ottengo: $ $$2(c+1)=b^2$$ $, la quale può essere soddisfatta da opportuni valori di $ b $ mettendo al posto di $ c+1 $ il doppio di un quadrato perfetto . Quindi la terna $ (n^2-2,n^2,n^2-1) \forall n \in \mathbb{Z} $ soddisfa la relazione.

[Gogo Livorno]

Salve... vorrei sapere se concordate sulla soluzione di questo esercizio:
Si dimostri che l'equazione $ $$a^2+b^2=c^2+3$$ $ ammette come soluzioni infinite terne di interi $ a,b,c $










Pongo $ $a=c-1$ $, quindi ottengo: $ $$2(c+1)=b^2$$ $, la quale può essere soddisfatta da opportuni valori di $ b $ mettendo al posto di $ c+1 $ il doppio di un quadrato perfetto . Quindi la terna $ (n^2-2,n^2,n^2-1) \forall n \in \mathbb{Z} $ soddisfa la relazione.

Ehm... hai trovato una soluzione davvero velocissima, ma alla fine sei scivolato su una buccia di banana

Fino a 2(c+1)=b^2 va benissimo.

Se c+1 è il doppio di un quadrato perfetto dunque c+1=2(n^2) e quindi c=2(n^2)-1.

Di conseguenza a=2(n^2)-2.

Da quello che avevi ricavato hai che

b^2=2(2(n^2))=4(n^2).

Dunque hai una possibile soluzione per b=2n.

Concludendo, la terna risolutiva è:

2(n^2)-2; 2n; 2(n^2)-1.

P.S. Prima di confermare, provala la soluzione, se sostituisci un valore alla tua vedi che non viene sempre

[ngshya]

oppure puoi sfruttare il fatto che ogni numero dispari può essere scritto come differenza di due quadrati.

[Zorro_93]

Ho capito. In effetti quella terna non so da dove me la sia tirata fuori, dico che $ $c+1$ $deve essere il doppio di un quadrato perfetto e scrivo $ $c=n^2-1$ $ ... bho