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Salve... vorrei sapere se concordate sulla soluzione di questo esercizio:
Si dimostri che l'equazione $ $$a^2+b^2=c^2+3$$ $ ammette come soluzioni infinite terne di interi $ a,b,c $










Pongo $ $a=c-1$ $, quindi ottengo: $ $$2(c+1)=b^2$$ $, la quale può essere soddisfatta da opportuni valori di $ b $ mettendo al posto di $ c+1 $ il doppio di un quadrato perfetto . Quindi la terna $ (n^2-2,n^2,n^2-1) \forall n \in \mathbb{Z} $ soddisfa la relazione.

Zorro_93 ha scritto:Salve... vorrei sapere se concordate sulla soluzione di questo esercizio:
Si dimostri che l'equazione $ $$a^2+b^2=c^2+3$$ $ ammette come soluzioni infinite terne di interi $ a,b,c $










Pongo $ $a=c-1$ $, quindi ottengo: $ $$2(c+1)=b^2$$ $, la quale può essere soddisfatta da opportuni valori di $ b $ mettendo al posto di $ c+1 $ il doppio di un quadrato perfetto . Quindi la terna $ (n^2-2,n^2,n^2-1) \forall n \in \mathbb{Z} $ soddisfa la relazione.

Ehm... hai trovato una soluzione davvero velocissima, ma alla fine sei scivolato su una buccia di banana

Fino a 2(c+1)=b^2 va benissimo.

Se c+1 è il doppio di un quadrato perfetto dunque c+1=2(n^2) e quindi c=2(n^2)-1.

Di conseguenza a=2(n^2)-2.

Da quello che avevi ricavato hai che

b^2=2(2(n^2))=4(n^2).

Dunque hai una possibile soluzione per b=2n.

Concludendo, la terna risolutiva è:

2(n^2)-2; 2n; 2(n^2)-1.

P.S. Prima di confermare, provala la soluzione, se sostituisci un valore alla tua vedi che non viene sempre

oppure puoi sfruttare il fatto che ogni numero dispari può essere scritto come differenza di due quadrati.

Ho capito. In effetti quella terna non so da dove me la sia tirata fuori, dico che $ $c+1$ $deve essere il doppio di un quadrato perfetto e scrivo $ $c=n^2-1$ $ ... bho