Lemma stranoto sui quadrilateri completi

[dario2994]

Alur, questo problema temo sia terribilmente noto, ma lo posto perchè lo trovo bellissimo, nonchè istruttivo... se risolto con i giusti metodi.
Evitate di bruciarmelo in proiettiva o chessoio (penso che in proiettiva venga in una riga... ma non sono sicuro non sapendone nulla xD)

$ $ABCD $ è un quadrilatero. $ $AC $ e $ $BD $ si intersecano in $ $X $. $ $AB $ e $ $CD $ si intersecano in $ $E $. La retta $ $EX $ incontra $ $BC $ in $ $M $; $ $AD $ in $ $N $.
Dimostrare $ $\frac{EM}{EN}=\frac{XM}{XN} $.

p.s. se questo fatto ha un nome qualcuno lo scriva... può sempre far comodo saperlo

p.p.s. con ogni probabilità è comparso sul forum tante volte... pace non sapendone il nome non sapevo come cercarlo...

[karl]

La dimostrazione si può conseguire anche elementarmente
senza scomodare la geometria proiettiva.Consideriamo infatti
il triangolo AEX ed il punto D ad esso esterno ( vedi fig.2).
La retta DA taglia il lato EX in N ;DE taglia il lato AX in C
ed infine la retta DX taglia il lato AE in B.Per il teorema di
Ceva risulta allora:
( 1) $ \displaystyle \frac{EN}{XN} \cdot \frac{CX}{CA} \cdot \frac{AB}{BE}=1 $
Tagliamo ora il medesimo triangolo AEX con la retta FC ( vedi fig.3).
Tale retta interseca il lato EX in M ,il lato AX in C ed il lato AE in B.
Pertanto,applicando il Teorema di Menelao,avremo :
(2) $ \displaystyle \frac{EM}{XM} \cdot \frac{CX}{CA} \cdot \frac{AB}{BE}=1 $
Confrontando (1) e (2) si ha:
$ \displaystyle \frac{EM}{XM}=\frac{EN}{XN} $
Oppure :
$ \displaystyle \frac{EM}{EN}=\frac{XM}{XN} $
che è la tesi.

[dario2994]

Bene :)
La mia soluzione sfruttava le stesse idee (Menelao e Ceva "furbi") ma li applicava più volte (mi pare ben 4) ed erano meno calati dal cielo, nel senso che erano molto intuitivi dato che miravano a "liberarsi della diagonale" per riuscire a ragionare sui lati :)
Comunque ora se qualcuno ha una soluzione in proiettiva non mi farebbe male vederla (sperando di capirci qualcosa xD)

[karl]

La soluzione proiettiva è assai semplice ma ha un retroterra che
occorre conoscere.
In un quadrilatero completo ( 4 vertici e 6 lati) la retta congiungente
2 dei 3 vertici del triangolo diagonale taglia i lati del quadrilatero uscenti
dal terzo vertice diagonale in due punti che separano armonicamente i due vertici
situati sulla retta in considerazione.
Nel caso nostro ( vedi fig.1) i punti diagonali sono E ed X e la retta EX taglia
i lati FB ed FA (uscenti dal terzo vertice diagonale F) in M ed N tale che risulti:
[EXMN]=-1
Ovvero :
$ \displaystyle \frac{EM}{XM}:\frac{EN}{XN}=-1 $
che ,sia pure in altra forma, è la tesi.
P.S. la mia risposta alle "idee calate dal cielo" è :
"Chi più sa meglio sa "