OliForum Matematico

Alur, questo problema temo sia terribilmente noto, ma lo posto perchè lo trovo bellissimo, nonchè istruttivo... se risolto con i giusti metodi.
Evitate di bruciarmelo in proiettiva o chessoio (penso che in proiettiva venga in una riga... ma non sono sicuro non sapendone nulla xD)

$ $ABCD $ è un quadrilatero. $ $AC $ e $ $BD $ si intersecano in $ $X $. $ $AB $ e $ $CD $ si intersecano in $ $E $. La retta $ $EX $ incontra $ $BC $ in $ $M $; $ $AD $ in $ $N $.
Dimostrare $ $\frac{EM}{EN}=\frac{XM}{XN} $.

p.s. se questo fatto ha un nome qualcuno lo scriva... può sempre far comodo saperlo

p.p.s. con ogni probabilità è comparso sul forum tante volte... pace non sapendone il nome non sapevo come cercarlo...

La dimostrazione si può conseguire anche elementarmente
senza scomodare la geometria proiettiva.Consideriamo infatti
il triangolo AEX ed il punto D ad esso esterno ( vedi fig.2).
La retta DA taglia il lato EX in N ;DE taglia il lato AX in C
ed infine la retta DX taglia il lato AE in B.Per il teorema di
Ceva risulta allora:
( 1) $ \displaystyle \frac{EN}{XN} \cdot \frac{CX}{CA} \cdot \frac{AB}{BE}=1 $
Tagliamo ora il medesimo triangolo AEX con la retta FC ( vedi fig.3).
Tale retta interseca il lato EX in M ,il lato AX in C ed il lato AE in B.
Pertanto,applicando il Teorema di Menelao,avremo :
(2) $ \displaystyle \frac{EM}{XM} \cdot \frac{CX}{CA} \cdot \frac{AB}{BE}=1 $
Confrontando (1) e (2) si ha:
$ \displaystyle \frac{EM}{XM}=\frac{EN}{XN} $
Oppure :
$ \displaystyle \frac{EM}{EN}=\frac{XM}{XN} $
che è la tesi.

Bene :)
La mia soluzione sfruttava le stesse idee (Menelao e Ceva "furbi") ma li applicava più volte (mi pare ben 4) ed erano meno calati dal cielo, nel senso che erano molto intuitivi dato che miravano a "liberarsi della diagonale" per riuscire a ragionare sui lati :)
Comunque ora se qualcuno ha una soluzione in proiettiva non mi farebbe male vederla (sperando di capirci qualcosa xD)

La soluzione proiettiva è assai semplice ma ha un retroterra che
occorre conoscere.
In un quadrilatero completo ( 4 vertici e 6 lati) la retta congiungente
2 dei 3 vertici del triangolo diagonale taglia i lati del quadrilatero uscenti
dal terzo vertice diagonale in due punti che separano armonicamente i due vertici
situati sulla retta in considerazione.
Nel caso nostro ( vedi fig.1) i punti diagonali sono E ed X e la retta EX taglia
i lati FB ed FA (uscenti dal terzo vertice diagonale F) in M ed N tale che risulti:
[EXMN]=-1
Ovvero :
$ \displaystyle \frac{EM}{XM}:\frac{EN}{XN}=-1 $
che ,sia pure in altra forma, è la tesi.
P.S. la mia risposta alle "idee calate dal cielo" è :
"Chi più sa meglio sa "