Un Limite che non esiste?

[amatrix92]

faccio un esempio per farmi capire meglio;$ \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x} $ non esiste ovviamente perchè nell'intorno di 0 abbiamo il limite uguale a infinito per x che tende a zero più e meno infinito per x che tende a zero meno, ma non esiste per x che tende a 0; ora la mia domanda è: esistono funzoni che sono definite nell'intorno di K più, ma che il loro limite per x che tende a K più non esiste? e se sì, quali?
so di non essermi spiegato benissimo ma spero si capisca ugualmente.

[Spammowarrior]

faccio un esempio per farmi capire meglio;$ \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x} $ non esiste ovviamente perchè nell'intorno di 0 abbiamo il limite uguale a infinito per x che tende a zero più e meno infinito per x che tende a zero meno, ma non esiste per x che tende a 0; ora la mia domanda è: esistono funzoni che sono definite nell'intorno di K più, ma che il loro limite per x che tende a K più non esiste? e se sì, quali?
so di non essermi spiegato benissimo ma spero si capisca ugualmente.

no, perchè se una funzione è continua nell'intervallo di K, allora il limite per x -> k = f(k)

[Ani-sama]

Il limite può anche non esistere... si prenda a titolo di esempio la seguente funzione: $ f: \mathbb R \setminus \{ 0 \} \rightarrow \mathbb R $ definita dalla formula $ \displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x} $. Nel punto $ 0 $ la funzione ha una discontinuità indecente, e non ha limite né destro né sinistro.

no, perchè se una funzione è continua nell'intervallo di K, allora il limite per x -> k = f(k)

Appunto, mica tutte le funzioni sono continue!

[amatrix92]

Il limite può anche non esistere... si prenda a titolo di esempio la seguente funzione: $ f: \mathbb R \setminus \{ 0 \} \rightarrow \mathbb R $ definita dalla formula $ \displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x} $. Nel punto $ 0 $ la funzione ha una discontinuità indecente, e non ha limite né destro né sinistro.

no, perchè se una funzione è continua nell'intervallo di K, allora il limite per x -> k = f(k)

Appunto, mica tutte le funzioni sono continue!

posso chiederti l'insieme di definizione di quella funzione?

[Nonno Bassotto]

La funzione è definita per x diverso da 0. Ma se questo non ti soddisfa possiamo definire f(0)=25.000,321, e l'esempio resta valido.

[Spammowarrior]

Il limite può anche non esistere... si prenda a titolo di esempio la seguente funzione: $ f: \mathbb R \setminus \{ 0 \} \rightarrow \mathbb R $ definita dalla formula $ \displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x} $. Nel punto $ 0 $ la funzione ha una discontinuità indecente, e non ha limite né destro né sinistro.

no, perchè se una funzione è continua nell'intervallo di K, allora il limite per x -> k = f(k)

Appunto, mica tutte le funzioni sono continue!

ma se è definita in k il limite esiste sempre comunque...
intendo dire: nel tuo caso x=0 è fuori dal dominio, dalla mia interpretazione dell'op la funzione deve essere definita in tutto l'intervallo.

edit: ah, ok, ora ho capito cosa chiede l'original poster: nel caso di una funzione definita a tratti può verificarsi una discontinuità tale per cui la funzione è definita in tutto l'intervallo, ma il limite dalla destra o dalla sinistra non esiste.
tuttavia non penso che esista una funzione del genere non definita a tratti (ma sono pronto ad essere smentito)

edit2: oppure coi moduli.
ok, le eccezioni iniziano a diventare un po' troppe :S

[Nonno Bassotto]

ma se è definita in k il limite esiste sempre comunque...

No, il limite $ \lim_{x \rightarrow k} f(x) $ è del tutto indipendente da $ f(k) $ (che può appunto non essere nemmeno definito).

Ad esempio se definisco $ f(x) = 1 $ se $ x \neq 0 $ e $ f(0) = 0 $, allora $ \lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 1 $

edit: ah, ok, ora ho capito cosa chiede l'original poster: nel caso di una funzione definita a tratti può verificarsi una discontinuità tale per cui la funzione è definita in tutto l'intervallo, ma il limite dalla destra o dalla sinistra non esiste.
tuttavia non penso che esista una funzione del genere non definita a tratti (ma sono pronto ad essere smentito)

L'esempio (che tra l'altro hai quotato) di Ani-sama di mostra una funzione perfettamente legittima che non ammette limite destro in 0 (e non è definita a tratti).

Voglio solo fare un chiarimento: ci sono ben più funzioni di quelle definite a tratti o quelle con i valori assoluti. Una funzione è "una regola" che ad ogni elemento del dominio associa un elemento del codominio. Il fatto che a scuola si vedano più o meno sempre le stesse funzioni non significa che l'unico modo di definire una funzione sia dare una regola algebrica.

Un buon esempio è la funzione seno: questa associa al numero x l'ordinata del punto sulla circonferenza unitaria su cui ci si trova partendo da (1,0) e percorrendo una strada pari ad x in senso antiorario. Adesso, probabilmente sei abituato ad usare questa come una funzione elementare, ma se ci pensi vedrai che questa è una regola piuttosto complicata.

Tutto questo non per fare una paternale, ma solo per avvertirti di fare attenzione quando pensi a questo tipo di controesempi: le funzioni "date da espressioni algebriche" sono poche in confronto a tutte le regole che si possono immaginare! (E queste sono poche rispetto a tutte le funzioni che si possono scegliere a caso, ma questa è un'altra storia...)

[Spammowarrior]

sì, ma la funzione che citi non è definita in x=0, cosa espressamente chiesta nel primo messaggio.

edit: giusto per chiarire, so che esistono funzioni che non ammettono limite per un valore, oppure per un valore infinito, ma non mi sembra sia questa la richiesta. altrimenti ce n'è un fantastiliardo e mezzo, praticamente tutte le sinusoidi

[Nonno Bassotto]

Il primo messaggio la chiede definita su un intorno destro del punto. In ogni caso basta definire f(0) = 0 o qualsiasi altro valore, come avevo già detto prima.

[Spammowarrior]

Il primo messaggio la chiede definita su un intorno destro del punto. In ogni caso basta definire f(0) = 0 o qualsiasi altro valore, come avevo già detto prima.

uhm, missà che ho capito male il senso allora. confermo dunque (se ce ne fosse il bisogno) che se importa solo che sia definita in un intorno di x0 (e non nel punto stesso) allora qualunque funzione periodica di 1/x ha i requisiti richiesti.

comunque, per terminare il discorso, se definisci f(0) = 0 la stai definendo a tratti

[amatrix92]

non è che abbia capito benissimo; voi mi dite che sì, è possibile che una funzione definita per x>0 possa avere un limite che tende a zero dal suo intorno destro non esistente; però dall'esempio che mi avete fatto di sin1/x, non capisco perchè il limite per x che tende a "zero più" non esista; a me sembra essere semplicemente + infinito .

[Spammowarrior]

non è che abbia capito benissimo; voi mi dite che sì, è possibile che una funzione definita per x>0 possa avere un limite che tende a zero dal suo intorno destro non esistente; però dall'esempio che mi avete fatto di sin1/x, non capisco perchè il limite per x che tende a "zero più" non esista; a me sembra essere semplicemente + infinito .

perchè 1/x tende a +infinito, ma il seno di +infinito non è un valore, ma oscilla

[Nonno Bassotto]

Attenzione: come fa il seno a tendere a infinito? È limitato tra -1 e 1. Prova a farti un grafico

[amatrix92]

Attenzione: come fa il seno a tendere a infinito? È limitato tra -1 e 1. Prova a farti un grafico

wow... facendo il grafico dovrei essermi chiarito le idee !! allora se non ho capito male viene una sorta di onda tra 1 e -1 con il periodo crescende all'aumentare del valore assoluto di x, e frequanza tendente a infinito per x tendente a 0. giusto?
Edit: anche se non mi è chiaro che comportamento ha per x>1 ... ma non è importante per la mia domanda

[Ani-sama]

comunque, per terminare il discorso, se definisci f(0) = 0 la stai definendo a tratti

Riprendo quanto ti è stato già detto (e bene) da Nonno Bassotto, aggiungendo che quando dici "definito a tratti" non stai dicendo qualcosa che matematicamente è particolarmente chiaro. "Definito a tratti" è più una specificazione informale, che aiuta l'intuito, ma non ha senso definire rigorosamente una cosa del genere, perché a quel punto qualsiasi funzione sarebbe potenzialmente "definita a tratti". Anche soltanto la funzione data dalla formula $ f(x)=x $ posso scriverla come $ f(x)= x $ per $ x \neq 57 $ e $ f(57) = 57 $, ottenendo qualcosa che tu diresti essere "definito a tratti".

@amatrix92
Per i grafici si possono sfruttare le moderne sfavillanti tecnologie informatiche. Usa il Wolfram Alpha e come input scrivi proprio sin(1/x).