Intervalli e funzione di Eulero

[Tin-Tan]

Siano a,b reali nell’intervallo [0;1], con a<b, dimostra che esiste un intero m tale che a< f(m)/m <b dove f(x) è la funzione di Eulero.

[dario2994]

Non tanto olimpico ma carino.
Lemmino (tutte le sommatorie sono da intendere in p che varia in tutti i numeri primi):
$ $ \prod_{p\in\mathbb{P}} \frac{p-1}{p}=0 $
E' equivalente a dire che l'inverso diverge:
$ $\prod \frac{p}{p-1}=\prod 1+\frac{1}{p-1}\ge 1+\sum\frac{1}{p-1}\ge \sum \frac 1 p $ che per lemma più o meno noto (se non erro me l'ha detto fph in aereo xD) diverge.

Dati a,b chiamo $ $p_n $ l'n-esimo numero primo maggiore di $ $max(\frac{b}{b-a}; \frac{1}{1-b}) $ . Definisco la sequenza $ $c_i $:
$ $c_n=\prod_{i=1}^n\frac{p_i-1}{p_i} $
Per definizione e per il lemma valgono i seguenti fatti:

1) La sequenza è strettamente decrescente.

2) Vale:
$ $p_1>\frac{1}{1-b}\Rightarrow p_1-1>p_1b\Rightarrow \frac{p_1-1}{p_1}>b $
Quindi vale:
$ $c_1>b $

3) Per il lemma dimostrato precedentemente anche questa sequenza converge a 0 (è la stessa analizzata nel lemma solo moltiplicata per una costante finita) quindi:
$ $\exists\ k\ t.c.\ c_k<b $

Prendo il maggiore n tale che $ $c_n\ge b $ che esiste per 1) 2) e 3). Definisco $ $m=\prod_{i=1}^{n+1}p_i $. Dimostro che:
$ $ a<\frac{\varphi(m)}{m}<b $
Da cui deriva ovviamente la tesi.
Prima di tutto noto che: $ $\frac{\varphi(m)}{m}=c_{n+1} $.
Inoltre valgono i seguenti fatti:

4)$ $c_{n+1}<b $ per la definizione di n.

5) Vale:
$ $c_{n+1}=\frac{p_{n+1}-1}{p_{n+1}}c_n>\frac{p_1-1}{p}b>\frac{\frac{b}{b-a}-1}{\frac{b}{b-a}}b=a $

Unendo 4) e 5) ottengo la tesi.

p.s. scriverlo decentemente è stata una faticaccia anche se alla fin fine la parte più difficile è stata dimostrare il lemmino.

[Tin-Tan]

Muy bien! Furba soluzione, anche perche hai costruito m, la mia soluzione è diversa, non costruisco m, solo dimostro che esiste.

Lemma 1: Sia r un reale nell’intervallo [0;1], esiste un primo p tale che r < (p-1)/p < (r+1)/2.
Per dimostrare questo lemma vediamo che (p-1)/p= 1- 1/p, allora è equivalente a dimostrare che per tutto reale x nell’intervallo [0;1] esiste un primo p tale che x/2< 1/p <x, lo quale è equivalente a dimostrare che esiste un primo p tale che 1/(x/2)< p <1>1 intero c’è un primo compreso tra n e 2n, in questa dimostrazione che ho fato 1/(x/2) e 1/x possono non essere interi ma è sufficiente prendere la parte intera per utilizzare Bertrand.

Adesso dimostro che per tutto reale positivo c è possibile trovare un m tale che a<f(m)/m<a+c con lo quale si finisce la dimostrazione. Per il lemma 1 si può trovare un reale r della forma (p-1)/p con p primo tale che a<r<(a+1)/2, poi, per lemma 1 si può trovare un reale s della forma q-1/q tale che a/r< s <((a/r)+1)/2 (questa parte è come fare una omotetia che invia dal segmento [o;r] al segmento [0;1]), allora p<q e a< sr <(a+r)/2. E così induttivamente dato t (della forma f(n)/n), si può trovare un v (della forma (p-1)/p e con p coprimo con n) tale che a< tv < (a+t)/2, siccome 1/(2^k) converge a 0 allora dopo una quantità finita di volte di fare il procedimento si arriva a<f(m)/m<a+k