diofantea con parametro (semplice)
diofantea con parametro (semplice)
Per quanti valori interi di $ n $ l'Eq. $ x^2 + nx - 16 $ ha soluzioni intere?
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
formula risolutiva equazioni di secondo grado:
$ x=\frac{-n\pm \sqrt{n^2+64}}{2} $
quindi dobbiamo avere che $ n^2+64=k^2 \\ 2^6=k^2-n^2=(k-n)(k+n) $
impostando i sistemi con i divisori di 64 abbiamo le soluzioni $ (n,k)=(15,17),(6,10),(0,8) $
quindi il determinante è un quadrato perfetto per n=15,6,0
per tutte e tre questi valori abbiamo una x intera.
quindi i valori possibili di n sono 3 (6 se consideriamo i negativi)
$ x=\frac{-n\pm \sqrt{n^2+64}}{2} $
quindi dobbiamo avere che $ n^2+64=k^2 \\ 2^6=k^2-n^2=(k-n)(k+n) $
impostando i sistemi con i divisori di 64 abbiamo le soluzioni $ (n,k)=(15,17),(6,10),(0,8) $
quindi il determinante è un quadrato perfetto per n=15,6,0
per tutte e tre questi valori abbiamo una x intera.
quindi i valori possibili di n sono 3 (6 se consideriamo i negativi)
la soluzione non fa una piega ma il negativo di 0 è 0 
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: diofantea con parametro (semplice)
Può essere riscritta come $ (2x+n)^2=n^2+64 $, inoltre $ n^2<n^2+64<(n+8)^2 $ quando n>0 e deve esistere $ k \in \{1,2,3\} $ tale che $ n^2+64=(n+2k)^2 $ (fare a mano i tre casi). Se n=0 c'è la soluzione banale. Se n<0 vale $ n^2<n^2+64<(n-8)^2 $ quindi deve esistere $ t\in\{1,2,3\} $ tale che $ n^2+64=(n-2t)^2 $ (fare a mano i tre casi). Da cui presumo escano le soluzioni precedentiamatrix92 ha scritto:Per quanti valori interi di $ n $ l'Eq. $ x^2 + nx - 16 $ ha soluzioni intere?
The only goal of science is the honor of the human spirit.