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Ciao ragazzi. Quando un numero è un quadrato perfetto? E' chiaro che per numeri come 0, 1, 4, 256, 49 eccetera la domanda appare da stupidi, ma numeri quali 28358,56 , cioè $ \displaystyle(\frac{842}{5})^2 $, e in generale i razionali della forma (a/b)^2 sono quadrati perfetti? La stessa domanda si rivolge per i cubi, le quarte, ..., le n-esime potenze.
Se sì, allora molti problemi di teoria dei numeri si complicano o perdono di significato (un esempio su tutti, quando salta fuori il GCD, che non so come possa essere interpretato se i numeri sono razionali non interi).
Se invece no, allora il problema 6 delle olimpiadi di Cesenatico del 1992 è sbagliato: si dimostri che se $ a^{1/3} + b^{1/3} $ è razionale non nullo, allora sia a sia b sono cubi perfetti. (Basta scegliere per esemplio a=8/27, b = 125/64 e la tesi è falsa).
Chiedo chiarimenti!

P.S.: come si fa a fare la "radice n-esima" in LaTeX?

Se non si specifica nulla nel testo, per "quadrato perfetto" si intende intero.
In generale, si possono definire i quadrati perfetti in qualunque "struttura" in cui si possa fare un prodotto. La "struttura" possono essere ad esempio i numeri razionali, gli interi modulo n, etc. In tutti questi altri casi, la cosa viene espressamente detta, oppure è automaticamente chiara, perché i quadrati perfetti prendono dei nomi speciali. Per esempio, fra gli interi modulo n, i quadrati perfetti sono chiamati "residui quadratici".

P.S. Nel Cesenatico 1992 viene detto che a e b devono essere interi, quindi il tuo controesempio non sussiste.

P.P.S. $ \sqrt[n]{x} $

Grazie mille Tibor!

Tibor Gallai ha scritto:Nel Cesenatico 1992 viene detto che a e b devono essere interi

Osservazione davvero arguta... incredibile (neanche tanto) ma non l'ho proprio visto!