E' data la sequenza
$ \displaystyle \binom{n}{1}, \binom{n}{2}, ... , \binom{n}{\frac{n-1}{2}} $ dove $ n $ è un intero dispari maggiore di 1. Mostrare che nella sequenza compare sempre un numero dispari di numeri dispari.
Numero dispari di dispari
Altrimenti basta dimostrare che la somma di quei binomiali è qualcosa di dispari(ricordando $ \binom {n}{m}=\binom {n}{n-m} $ e $ \sum_{i=0}^n{\binom{n}{i}}=2^n $) e poi si ha la tesi..
Ci sono due errori che si possono fare lungo la via verso la verità...non andare fino in fondo, e non iniziare.
Confucio
Confucio
Problema carino, mi viene voglia di postare una soluzione completa.
Cito dapprima un risultato dovuto a Sierpinski collegato a questo problema (teorema che avevo visto riguardo ad un altro problema simile a questo), e cioè che il numero di numeri dispari nel triangolo di Tartaglia/Pascal dalla riga 1 alla riga $ n $ è
$ \displaystyle \sum _ {k=1} ^{n} 2^{b(k)} $
dove $ b(k) $ è il numero di cifre 1 nella rappresentazione binaria di $ k $ (per riferimenti si veda S. Finch, Mathematical constants).
Detto ciò, definiamo
$ \displaystyle \sum _{k=1} ^{\frac {n-1} 2} \binom n k := S $
$ \displaystyle \sum _{k=\frac {n-1} 2} ^{n-1} \binom n k := S' $;
dall'identità $ \binom a b = \binom a {a-b} $ ricaviamo che $ S=S' $ -in altre parole ogni coefficiente binomiale $ \binom n k $ in $ S $ può essere messo in corrispondenza biunivoca col suo complementare $ \binom n {n-k} $ in $ S' $-.
Inoltre dall'identità $ \sum _{k=0} ^n \binom n k =2^n $ anche
$ S+S'+\binom n 0 + \binom n n=2^n $
$ 2S+2=2^n $
$ S=2^{n-1}-1 $.
Quindi $ S $ è senz'altro dispari, ma questo implica la tesi poiché la somma di $ x $ numeri dispari è dispari se e solo se lo è $ x $. Ringrazio Reginald per la preziosa osservazione sulla simmetria dei coefficienti; penso che proporrò anche una soluzione sulla strada tracciata da Anér perché rivela una serie di fatti interessanti sotto un'analisi attenta, come quello citato all'inizio.
Cito dapprima un risultato dovuto a Sierpinski collegato a questo problema (teorema che avevo visto riguardo ad un altro problema simile a questo), e cioè che il numero di numeri dispari nel triangolo di Tartaglia/Pascal dalla riga 1 alla riga $ n $ è
$ \displaystyle \sum _ {k=1} ^{n} 2^{b(k)} $
dove $ b(k) $ è il numero di cifre 1 nella rappresentazione binaria di $ k $ (per riferimenti si veda S. Finch, Mathematical constants).
Detto ciò, definiamo
$ \displaystyle \sum _{k=1} ^{\frac {n-1} 2} \binom n k := S $
$ \displaystyle \sum _{k=\frac {n-1} 2} ^{n-1} \binom n k := S' $;
dall'identità $ \binom a b = \binom a {a-b} $ ricaviamo che $ S=S' $ -in altre parole ogni coefficiente binomiale $ \binom n k $ in $ S $ può essere messo in corrispondenza biunivoca col suo complementare $ \binom n {n-k} $ in $ S' $-.
Inoltre dall'identità $ \sum _{k=0} ^n \binom n k =2^n $ anche
$ S+S'+\binom n 0 + \binom n n=2^n $
$ 2S+2=2^n $
$ S=2^{n-1}-1 $.
Quindi $ S $ è senz'altro dispari, ma questo implica la tesi poiché la somma di $ x $ numeri dispari è dispari se e solo se lo è $ x $. Ringrazio Reginald per la preziosa osservazione sulla simmetria dei coefficienti; penso che proporrò anche una soluzione sulla strada tracciata da Anér perché rivela una serie di fatti interessanti sotto un'analisi attenta, come quello citato all'inizio.