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Chiamiamo $ $X_a$ $ il punto di intersezione tra la simmediana relativa al vertice A e la retta che passa dal punto medio di BC e dal punto medio dell'altezza relativa al vertice A, e definiamo analogamente i punti $ $X_b$ $ e $ $X_c$ $.
Dimostrare che $ $X_a$ $, $ $X_b$ $ e $ $X_c$ $ coincidono

Ops! Ho scritto Le Moine sempre attaccato!!!

Comunque questo problema si presta molto bene alle trilineari.
Le simmediane si incontrano in: $ [tex] $\left[ ac\right][/tex].
Punto medio di BC: $ \left[ 0:c:b\right] $.
Punto medio dell'altezza relativa ad A: $ \left[ 1:cos\gamma :cos\beta \right] $.
Calcolo, sapendo che $ a=b\cdot cos\gamma + c\cdot cos\beta $, il determinante di:
$ \begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & c & b \\ 1 & cos\gamma & cos\beta \end{bmatrix} $

Cioè: $ a(c\cdot cos\beta -b\cdot cos\gamma)+b^2-c^2 = b^2(1-cos^2\gamma)-c^2(1-cos^2\beta)= $
$ =b^2sin^2\gamma-c^2sin^\beta=0 $.

Che conduce facilmente alla tesi.

Altrimenti anche con le baricentriche, con una punta di sintetica ed un pizzico di algebra.
Si prova che i punti medi delle altezze (chiamiamoli $ H_A\ H_B \ H_C $) stanno sui lati del triangolo mediale $ M_AM_BM_C $, in posizioni tali per cui $ M_AH_A\ \ M_BH_B\ \ M_CH_C $ concorrono nel coniugato isotomico dell'ortocentro di $ M_AM_BM_C $... tutto chiaro?

Beh, a questo punto uno si può benissimo calcolare a mano le "vere" distanze di questa intersezione con i lati di $ ABC $ e vedere che stanno fra loro in rapporto ac.

Altrimenti uno dice: questo punto d'intersezione ha coordinate baricentriche $ \left[ \frac{cos\alpha}{a}:\frac{cos\beta}{b}:\frac{cos\gamma}{c}\right] $ nel riferimento di $ M_AM_BM_C $.

Sappiamo però che $ M_A,\ \ M_B \ \ ed\ \ M_C $ non devono essere [1:0:0], [0:1:0], [0:0:1] (come sono ne loro riferimento).
Devono essere [0:1:1], [1:0:1] e [1:1:0].
Allora bisogna fare un cambio di coordinate (o di base o di riferimento), moltiplicando le coordinate del primo riferimento (in $ M_AM_BM_C $) per la seguente matrice:
$ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} $
, che ha nelle colonne le coordinate "giuste" (nuove) dei precedenti punti di riferimento e con le colonne "normalizzate ad uno stesso numero (per le baricentriche: somma colonne = costante).

Fatte le premesse, si calcola (sia M la matrice precedente):
$ M\cdot \left[ \frac{cos\alpha}{a}:\frac{cos\beta}{b}:\frac{cos\gamma}{c}\right] = $
$ =\left[ \frac{cos\beta}{b}+\frac{cos\gamma}{c}:...analoghe...\right]= $ è una terna omogenea : moltiplico per $ abc $
$ =\left[a(bcos\gamma + ccos\beta):...\right]=\left[a^2:b^2:c^2\right] $

Che, guarda caso, è proprio dove si incontrano le simmediane.

Lemoine.

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