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Ciao mi sono appena iscritto, e volevo iniziare a risolvere qualche esercizio di algebra non troppo complicato dato che ho appena 14 anni e non sono andato oltre le provinciali

Ne scrivo alcuni abbastanza semplici :

Febbraio 2001 Qual è la somma algebrica dei coefficienti del polinomio
$ $(x^{21}+4x^2-3)^{2001}-(x^{21}+4x^2+3)^{667}+x^{21}+4x^2 $?

Febbraio 2000 Per ogni numero reale $ x $ indichiamo con $ [x] $ la sua parte intera definita come il più grande intero $ $\le x$ $. Determinare le soluzioni di $ $32^x=64^{[x]}$ $

Ne trovi tanti altri simili a questi se guardi le edizioni passate.

Un altro esercizio che secondo me è istruttivo, perché insegna un metodo di ragionamento che si usa spesso quando si parla di polinomi è questo:


Cesenatico 1998 Siano $ $a_1,a_2,a_3,a_4$ $ quattro numeri interi distinti e sia $ $P(x)$ $ un polinomio a cpefficienti interi tali che
$ $P(a_1)=P(a_2)=P(a_3)=P(a_4)=1$ $
1. Dimostrare che non esiste alcun numero intero $ $n$ $ tale che $ $P(n)=12$ $

2. Esistono un polinomio $ $P(x)$ $ che soddisfi la condizione $ $P(a_1)=P(a_2)=P(a_3)=P(a_4)=1$ $ e un intero $ $n$ $ tali che $ P(n)=1998$ $?

Ciao

Zorro_93 ha scritto:Ne scrivo alcuni abbastanza semplici :

Febbraio 2001 Qual è la somma algebrica dei coefficienti del polinomio
$ $(x^{21}+4x^2-3)^{2001}-(x^{21}+4x^2+3)^{667}+x^{21}+4x^2 $?

Febbraio 2000 Per ogni numero reale $ x $ indichiamo con $ [x] $ la sua parte intera definita come il più grande intero $ $\le x$ $. Determinare le soluzioni di $ $32^x=64^{[x]}$ $

Ne trovi tanti altri simili a questi se guardi le edizioni passate.

Un altro esercizio che secondo me è istruttivo, perché insegna un metodo di ragionamento che si usa spesso quando si parla di polinomi è questo:


Cesenatico 1998 Siano $ $a_1,a_2,a_3,a_4$ $ quattro numeri interi distinti e sia $ $P(x)$ $ un polinomio a cpefficienti interi tali che
$ $P(a_1)=P(a_2)=P(a_3)=P(a_4)=1$ $
1. Dimostrare che non esiste alcun numero intero $ $n$ $ tale che $ $P(n)=12$ $

2. Esistono un polinomio $ $P(x)$ $ che soddisfi la condizione $ $P(a_1)=P(a_2)=P(a_3)=P(a_4)=1$ $ e un intero $ $n$ $ tali che $ P(n)=1998$ $?

Ciao

Non è che sia proprio per iniziare un quesito di febbraio...prova a fare qualcosa dell' archimede esempio:
trovare il valore di x:
$ \displaystyle \frac{x+1}{1}+\frac{x+2}{2}+\frac{x+3}{3}+\frac{x+4}{4}+.....+\frac{x+100}{100}=100 $

Che è semplicissimo....uno degli ultimi dell'archimede biennio di ono so quale anno. Spero non troppo semplice XD

Clara ha scritto:0.
Giusto?

Si

Però il febbraio 2000 è carino....qualcuno ha soluzioni poco formali?

Claudio. ha scritto:Però il febbraio 2000 è carino....qualcuno ha soluzioni poco formali?

che intendi per poco formali?°_°
basta vedere come 2 elevato a no?

rimaneggiando:

$ 32^x = 64^{[x]} $
$ 2^{5x} = 2^{6[x]} $
$ 5x= 6[x] $
$ x=\frac{6}{5}[x] $

noto poi che $ [x]\leq x < [x]+1 $
in particolare

$ x < [x] + 1 $
$ \frac{6}{5}[x] < [x] + 1 $
$ [x] < 5 $

inoltre, vale

$ \frac{6}{5}[x] \geq [x] $

che è verificata per $ x \geq 0 $

è facile poi verificare che [x] = 0,1,2,3,4, x= 0, 6/5, 12/5, 18/5, 24/5 rispettivamente sono soluzioni dell'equazione iniziale.
domanda: l'ultimo passaggio è necessario?

Puoi non farlo esplicitamente, ma devi comunque osservare che per y=0,...,4 puoi prendere x=6/5 y; per le disugualianze che hai dato prima [x] = y, e quindi x è soluzione.

Ma tanto vale trovarle, no? Così in gara uno sta tranquillo di non perdere punti su un dettaglio.

se non ricordo male comunque era un quesito a risposta aperta, chiedeva il numero di soluzioni.

infatti io per scrupolo specifico sempre, era una mera curiosità.

Con formale intendevo semplicemente diversa da quella proposta nelle soluzioni, in effetti non era il termine appropiato.

ah, sinceramente non so che soluzione desse il comitato olimpico, la mia è utile?

Spammowarrior ha scritto:ah, sinceramente non so che soluzione desse il comitato olimpico, la mia è utile?

La tua è uguale.

molto bene!