Esercizi d'algebra per iniziare

[Nick-23]

Ciao mi sono appena iscritto, e volevo iniziare a risolvere qualche esercizio di algebra non troppo complicato dato che ho appena 14 anni e non sono andato oltre le provinciali

[Zorro_93]

Ne scrivo alcuni abbastanza semplici :

Febbraio 2001 Qual è la somma algebrica dei coefficienti del polinomio
$ $(x^{21}+4x^2-3)^{2001}-(x^{21}+4x^2+3)^{667}+x^{21}+4x^2 $?

Febbraio 2000 Per ogni numero reale $ x $ indichiamo con $ [x] $ la sua parte intera definita come il più grande intero $ $\le x$ $. Determinare le soluzioni di $ $32^x=64^{[x]}$ $

Ne trovi tanti altri simili a questi se guardi le edizioni passate.

Un altro esercizio che secondo me è istruttivo, perché insegna un metodo di ragionamento che si usa spesso quando si parla di polinomi è questo:


Cesenatico 1998 Siano $ $a_1,a_2,a_3,a_4$ $ quattro numeri interi distinti e sia $ $P(x)$ $ un polinomio a cpefficienti interi tali che
$ $P(a_1)=P(a_2)=P(a_3)=P(a_4)=1$ $
1. Dimostrare che non esiste alcun numero intero $ $n$ $ tale che $ $P(n)=12$ $

2. Esistono un polinomio $ $P(x)$ $ che soddisfi la condizione $ $P(a_1)=P(a_2)=P(a_3)=P(a_4)=1$ $ e un intero $ $n$ $ tali che $ P(n)=1998$ $?

Ciao

[Claudio.]

Ne scrivo alcuni abbastanza semplici :

Febbraio 2001 Qual è la somma algebrica dei coefficienti del polinomio
$ $(x^{21}+4x^2-3)^{2001}-(x^{21}+4x^2+3)^{667}+x^{21}+4x^2 $?

Febbraio 2000 Per ogni numero reale $ x $ indichiamo con $ [x] $ la sua parte intera definita come il più grande intero $ $\le x$ $. Determinare le soluzioni di $ $32^x=64^{[x]}$ $

Ne trovi tanti altri simili a questi se guardi le edizioni passate.

Un altro esercizio che secondo me è istruttivo, perché insegna un metodo di ragionamento che si usa spesso quando si parla di polinomi è questo:


Cesenatico 1998 Siano $ $a_1,a_2,a_3,a_4$ $ quattro numeri interi distinti e sia $ $P(x)$ $ un polinomio a cpefficienti interi tali che
$ $P(a_1)=P(a_2)=P(a_3)=P(a_4)=1$ $
1. Dimostrare che non esiste alcun numero intero $ $n$ $ tale che $ $P(n)=12$ $

2. Esistono un polinomio $ $P(x)$ $ che soddisfi la condizione $ $P(a_1)=P(a_2)=P(a_3)=P(a_4)=1$ $ e un intero $ $n$ $ tali che $ P(n)=1998$ $?

Ciao

Non è che sia proprio per iniziare un quesito di febbraio...prova a fare qualcosa dell' archimede esempio:
trovare il valore di x:
$ \displaystyle \frac{x+1}{1}+\frac{x+2}{2}+\frac{x+3}{3}+\frac{x+4}{4}+.....+\frac{x+100}{100}=100 $

Che è semplicissimo....uno degli ultimi dell'archimede biennio di ono so quale anno. Spero non troppo semplice XD

[Clara]

0.
Giusto?

[Claudio.]

0.
Giusto?

Si

[Claudio.]

Però il febbraio 2000 è carino....qualcuno ha soluzioni poco formali?

[Bake]

Però il febbraio 2000 è carino....qualcuno ha soluzioni poco formali?

che intendi per poco formali?°_°
basta vedere come 2 elevato a no?

[Spammowarrior]

rimaneggiando:

$ 32^x = 64^{[x]} $
$ 2^{5x} = 2^{6[x]} $
$ 5x= 6[x] $
$ x=\frac{6}{5}[x] $

noto poi che $ [x]\leq x < [x]+1 $
in particolare

$ x < [x] + 1 $
$ \frac{6}{5}[x] < [x] + 1 $
$ [x] < 5 $

inoltre, vale

$ \frac{6}{5}[x] \geq [x] $

che è verificata per $ x \geq 0 $

è facile poi verificare che [x] = 0,1,2,3,4, x= 0, 6/5, 12/5, 18/5, 24/5 rispettivamente sono soluzioni dell'equazione iniziale.
domanda: l'ultimo passaggio è necessario?

[Nonno Bassotto]

Puoi non farlo esplicitamente, ma devi comunque osservare che per y=0,...,4 puoi prendere x=6/5 y; per le disugualianze che hai dato prima [x] = y, e quindi x è soluzione.

Ma tanto vale trovarle, no? Così in gara uno sta tranquillo di non perdere punti su un dettaglio.

[Spammowarrior]

se non ricordo male comunque era un quesito a risposta aperta, chiedeva il numero di soluzioni.

infatti io per scrupolo specifico sempre, era una mera curiosità.

[Claudio.]

Con formale intendevo semplicemente diversa da quella proposta nelle soluzioni, in effetti non era il termine appropiato.

[Spammowarrior]

ah, sinceramente non so che soluzione desse il comitato olimpico, la mia è utile?

[Claudio.]

ah, sinceramente non so che soluzione desse il comitato olimpico, la mia è utile?

La tua è uguale.

[Spammowarrior]

molto bene!