il prato circolare e la capra

[amatrix92]

In un prato di forma circolare, con r=100 pascola una capra legata con una corda ad un paletto posto sulla circonferenza. Che lunghezza deve avere la corda perchè la capra possa mangiare l'erba di mezzo prato?

[gian92]

bhe l'area deve essere la metò di quella del cerchio grande quindi $ \frac{100^2\pi}{2}=5000\pi $ quindi il raggio deve essere $ r=\sqrt{\frac{5000\pi}{\pi}}=50\sqrt2 $ corretto il tex - EG

[Claudio.]

bhe l'area deve essere la metò di quella del cerchio grande quindi $ \frac{100^2\pi}{2}=5000\pi $ quindi il raggio deve essere $ r=\sqrt\frac{5000\pi}{\pi}=50\sqrt2 $

Ma solo l'intersezione fra le due circonferenze deve valere $ 5000\pi $ non tutta l'altra circonferenza.

[gian92]

bhe l'area deve essere la metò di quella del cerchio grande quindi $ \frac{100^2\pi}{2}=5000\pi $ quindi il raggio deve essere $ r=\sqrt\frac{5000\pi}{\pi}=50\sqrt2 $

Ma solo l'intersezione fra le due circonferenze deve valere $ 5000\pi $ non tutta l'altra circonferenza.

oddio pensavo un paletto al centro della circonferenza

[minima.distanza]

Ci provo io...

se il paletto a cui è legata la capra ( d'ora in poi detto $ O_2 $ ) appartiene al cerchio di raggio $ 100 - \sqrt{5000} =100-50 \sqrt{2} $ allora l'area percorribile dalla capra è un cerchio di raggio $ 50\sqrt{2} $. Bene, ora considero il caso in cui $ O_2 $ non appartiene a tale cerchio. IN questo caso la circonferenza di centro $ O_2 $ si interseca con la circonferenza delimitante il prato in due punti detti d'ora in poi $ A $ e $ B $. Provo a descrivere il raggio che deve assumere la circonferenza per soddisfare le richieste del problema. Noto (banalità) che:
$ AOB $ è isoscele con vertice in $ O $.
detto $ \alpha $ l'angolo $ \hat{AOB} $ si ha che ( salvo errori di calcolo) $ AB= 100\sqrt{2-2\cos{\alpha}} $.
detto $ M $ il punto medio di $ AB $ e essendo $ BM= 50 \sqrt{2-2\cos{\alpha}} $ si ha che $ OM = \sqrt{100^2 -50^2\cdot 2 +2\cdot 50^2\cos{\alpha}} = 50 \sqrt{2+2\cos{\alpha}} $.
Appartenendo $ O_2 $ ad $ OM $ posso dire che $ d = OO_2 = OM-MO_2 $ e che quindi $ (OM-d)^2 +MB^2 =r_2^2 $ dove $ r_2 $ è il raggio della "circonferenza della capra" XD. in ogni caso, facendo i calcoli si ottiene che $ OM^2 -2OMd +d^2 +MB^2 = r_2^2 $, $ 50^2(2+2\cos{\alpha}) -2d\cdot 50\sqrt{2+2\cos{\alpha}} +d^2 +50^2(2-2\cos{\alpha}) = r_2^2 $ da cui $ r_2^2 = 100^2 -2d\cdot 50\sqrt{2+2\cos{\alpha}}+d^2 = r_2^2 $ e quindi sono arrivato ad esprimere la lunghezza della corda in funzione della distanza del paletto dal centro del prato e dell'angolo $ \alpha $. è intuibile però che non è soddisfacente come soluzione e quindi tento di riportare d in funzione dell'angolo $ \alpha $ oppure provo un'altra via che mi porti solo grazie ad $ \alpha $ a determinare $ r_2 $.

Inizio cercando di trovare in funzione dell'angolo l'area della porzione di prato compresa tra $ AB $ e il confine del prato. tale area è per differenza tra l'area del settore circolare e del triangolo $ AOB $ $ 50^2\sqrt{4-4\cos{\alpha}^2}-\frac{100^2}{2}\alpha $. Fatto questo resta da descrivere $ \beta = \hat{AO_2B} $ in funzione di $ \alpha $. So che $ r_2\sqrt{2-2\cos{\beta}} = 100\sqrt{2-2cos{\alpha}} $. Risolvendo in $ \beta $ però esce un mostro... Dove sbaglio ? finora quanto ho fatto sembra giusto ?

[Claudio.]

Se non ho capito male tu non hai considerato che $O_2$ sia sulla circonferenza....

[minima.distanza]

Nono, $ O_2 $ appartiene a OM che è la perprendicolare ad AB passante per O ...

[amatrix92]

Il testo dice che $ O_2 $ appartiene alla circonferenza

[minima.distanza]

ah, ok, non lo avevo letto bene allora...

benissimo. $ \hat{AO_2B}= \pi -\frac{\alpha}{2} $. Per il teorema di carnot si ha però che
$ AB= 100\sqrt{2-2\cos{\alpha}} $
$ AB= r_2\sqrt{2-2\cos{(\pi-\frac{\alpha}{2})}} = r_2\sqrt{2+2\cos{\frac{\alpha}{2}}} $
E quindi $ 100\sqrt{2-2\cos{\alpha}}=r_2\sqrt{2+2\cos{\frac{\alpha}{2}}} $ da cui $ r_2 = 100\sqrt{\frac{2-2\cos{\alpha}}{2+2\cos{\frac{\alpha}{2}}}} $

Come già detto prima, l'area compresa tra $ AB $ e l'arco $ AB $ è pari a $ 50^2\sqrt{4-4\cos{\alpha}}-\frac{100^2}{2}\alpha $ per differenza tra le aree del triangolo $ AOB $ e del settore circolare AOB ( che non so bene come chiamare...).la porzione di prato brucabile dalla capra è quindi $ 50^2\sqrt{4-4\cos{\alpha}}-50^2\cdot 2 \alpha +\frac{r_2^2}{2}(\pi -\frac{\alpha}{2}) $. Ora bisognerebbe eguagliare questa espressione a $ 5000\pi $ e, sostituita ad $ r_2 $ l'espressione sopra, risolvere in $ \alpha $...

[paga92aren]

da cui $ r_2 = 100\sqrt{\frac{2-2\cos{\alpha}}{2+2\cos{\frac{\alpha}{2}}}} $

che si scrive meglio come $r_2=100\sqrt{2-2\cos\frac{\alpha}{2}}$

Come già detto prima, l'area compresa tra $ AB $ e l'arco $ AB $ è pari a $ 50^2\sqrt{4-4\cos{\alpha}}-\frac{100^2}{2}\alpha $ per differenza tra le aree del triangolo $ AOB $ e del settore circolare AOB ( che non so bene come chiamare...).la porzione di prato brucabile dalla capra è quindi $ 50^2\sqrt{4-4\cos{\alpha}}-50^2\cdot 2 \alpha +\frac{r_2^2}{2}(\pi -\frac{\alpha}{2}) $. Ora bisognerebbe eguagliare questa espressione a $ 5000\pi $ e, sostituita ad $ r_2 $ l'espressione sopra, risolvere in $ \alpha $...

Non ho capito come calcoli l'area: se fai l'area del triangolo meno l'area del settore ti viene un'area negativa !?!

Come calcoli l'area del triangolo AOB? io farei $A=\frac{OA\cdot OB}{2}\sin \alpha=5000\sin\alpha$

Poi continui sommando all'area del settore, compreso tra il segmento AB e l'arco AB del cerchi iniziale, l'area del settore circolare AO$_2$B. Così facendo consideri l'area del triangolo ABO$_2$ due volte.

Sarebbe più comodo calcolare la somma dei due settori meno il quadrilatero AOBO$_2$ che è: $A_{AOBO'}=\frac{AB\cdot OO'}{2}=50\cdot AB$

[minima.distanza]

Sì, è vero, hai ragione, nella fretta devo aver fatto il contrario di ciò che pensavo XD.
In ogni caso il tuo mi sembra un buon approccio. prova a risolverlo te a questo punto

[Claudio.]

OFF
Minima.distanza sei molto più bravo di me ma come fai a leggere male il testo almeno una volta per problema? LoL
Quante bestemmie hai tirato per esserti successo in gara?
\OFF

[minima.distanza]

OFF
ahahahahaha a dire il vero non sono molto bravo, non mi capacito di come tutti in questo periodo si reputino meno bravi di me in matematica Non ho mai fatto gare serie, sono in terza e questo è il primo anno che passo per le provinciali... ( in gara leggo almeno due volte il testo prima di iniziare a pensarci ovviamente XD....)
\OFF

[paga92aren]

Conoscendo l'area dei due settori circolari e del quadrilatero, li impongo uguali a metà del cerchio e, dopo un po' di calcoli, arrivo alla formula:$(\pi-x)\cos(x)+sen(x)=\frac{\pi}{2}$ con $x=\frac{\alpha}{2}$
che non riesco a risolvere con metodi cristiani quindi guardatevi questo link:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=(\ ... senx-\pi/2
e trovo la soluzione approssimata $x=1,235896925$ da cui ottengo $r_2=115.8728$.
Per sicurezza ho controllato il risultato con excel e ho trovato che l'area brucabile è $15707.96$.
Quindi non mi tornavano i conti dato che il risultato doveva essere $50000\pi$ solo dopo mezz'ora di revisione conti e feedback ho capito che il risultato era giusto...