è un SNS del 92\93, facile, che ho visto non esserci nell'indice.
lo propongo quindi per poi ampliare l'indice delle soluzioni:
verificare che la somma delle quarte potenze di due numeri reali di assegnato prodotto $ p>0 $
a)decresce se decresce il valore assoluto della differenza dei due numeri
b)raggiunge il valore minimo se i due numeri sono uguali
somma di quarte potenze
-
Spammowarrior
- Messaggi: 282
- Iscritto il: 23 dic 2009, 17:14
la risolvo con un po' di analisi.
chiamati x, z i due numeri reali, si sa che
$ \displaystyle xz=p $
prendo ora wlog x>z e ricavo z:
$ \displaystyle z=\frac {p}{x} $
considero ora le due funzioni:
$ \displaystyle f(x) = x^4 + \frac{p^4}{x^4} $ e $ \displaystyle g(x) = |x - \frac{p}{x}| $
per prima cosa noto che sono entrambe pari quindi lavoro solo sugli x positivi.
Lemma 1
L'aumentare di x coimplica l'aumentare di g(x) (che equivale a dire che g(x) è crescente nel dominio)
per dimostrarlo è sufficiente derivare g(x) (tenendo sempre presente che $ \displaystyle x \geq \frac{p}{x} $):
$ \displaystyle g'(x)= 1 + \frac{p}{x^2} $
che è sempre positivo, il che coimplica che g(x) è crescente.
a questo punto è sufficiente dimostrare che anche f(x) è sempre crescente.
di nuovo, derivando:
$ \displaystyle f'(x)= 4x^3 + (-4)\frac{p^4}{x^5} $
$ \displaystyle f'(x)= \frac{4x^4}{x} - 4\frac {\frac{p^4}{x^4}}{x} $
$ \displaystyle f'(x)= \frac {4x^4 - 4\frac{p^4}{x^4}}{x} $
cerchiamo ora il minimo.
$ \displaystyle f'(x)= 0 $
$ \displaystyle 4x^4 - 4\frac{p^4}{x^4}=0 $
$ \displaystyle x=\frac{p}{x} $ (si può estrarre radice perchè lavoriamo sui positivi)
x=p/x è l'unico punto stazionario, ed è all'estremo del dominio.
prendiamo ora
$ \displaystyle f'(x) > 0 $
e ricordandosi che x è positivo si ottiene di nuovo
$ \displaystyle 4x^4 - 4\frac{p^4}{x^4}>0 $
che analogamente da
$ \displaystyle x > \frac{p}{x} $
che è sempre verificata se non ad un estremo del dominio.
quindi ricapitolando: la funzione è stazionaria ad un estremo, è strettamente crescente (all'interno del dominio) al crescere di x, e al crescere di x cresce g(x), da cui seguono entrambe le tesi (x=p/x è minimo, e all'aumentare del divario aumenta la somma delle quarte potenze)
chiamati x, z i due numeri reali, si sa che
$ \displaystyle xz=p $
prendo ora wlog x>z e ricavo z:
$ \displaystyle z=\frac {p}{x} $
considero ora le due funzioni:
$ \displaystyle f(x) = x^4 + \frac{p^4}{x^4} $ e $ \displaystyle g(x) = |x - \frac{p}{x}| $
per prima cosa noto che sono entrambe pari quindi lavoro solo sugli x positivi.
Lemma 1
L'aumentare di x coimplica l'aumentare di g(x) (che equivale a dire che g(x) è crescente nel dominio)
per dimostrarlo è sufficiente derivare g(x) (tenendo sempre presente che $ \displaystyle x \geq \frac{p}{x} $):
$ \displaystyle g'(x)= 1 + \frac{p}{x^2} $
che è sempre positivo, il che coimplica che g(x) è crescente.
a questo punto è sufficiente dimostrare che anche f(x) è sempre crescente.
di nuovo, derivando:
$ \displaystyle f'(x)= 4x^3 + (-4)\frac{p^4}{x^5} $
$ \displaystyle f'(x)= \frac{4x^4}{x} - 4\frac {\frac{p^4}{x^4}}{x} $
$ \displaystyle f'(x)= \frac {4x^4 - 4\frac{p^4}{x^4}}{x} $
cerchiamo ora il minimo.
$ \displaystyle f'(x)= 0 $
$ \displaystyle 4x^4 - 4\frac{p^4}{x^4}=0 $
$ \displaystyle x=\frac{p}{x} $ (si può estrarre radice perchè lavoriamo sui positivi)
x=p/x è l'unico punto stazionario, ed è all'estremo del dominio.
prendiamo ora
$ \displaystyle f'(x) > 0 $
e ricordandosi che x è positivo si ottiene di nuovo
$ \displaystyle 4x^4 - 4\frac{p^4}{x^4}>0 $
che analogamente da
$ \displaystyle x > \frac{p}{x} $
che è sempre verificata se non ad un estremo del dominio.
quindi ricapitolando: la funzione è stazionaria ad un estremo, è strettamente crescente (all'interno del dominio) al crescere di x, e al crescere di x cresce g(x), da cui seguono entrambe le tesi (x=p/x è minimo, e all'aumentare del divario aumenta la somma delle quarte potenze)
oddio non la capisco molto questa soluzione 
poi cerco di capirla meglio!
comunque metto anche la mia sperando sia giusta:
$ x^4+y^4=(x^2-y^2)^2+2p^2 $
essendo p fissato possiamo dire che la somma decresce se $ (x^2-y^2)^2 $ decresce.
a questo punto wlog (dato che $ (x^2-y^2)^2=(y^2-x^2)^2 $) prendo x>y
quindi x=y+k con k positivo.
quindi abbiamo che $ 2kx+k^2 $ decresce al diminuire di k...evidentemente sarà minimo con k=0 ovvero quando i due numeri sono uguali.
poi cerco di capirla meglio!
comunque metto anche la mia sperando sia giusta:
$ x^4+y^4=(x^2-y^2)^2+2p^2 $
essendo p fissato possiamo dire che la somma decresce se $ (x^2-y^2)^2 $ decresce.
a questo punto wlog (dato che $ (x^2-y^2)^2=(y^2-x^2)^2 $) prendo x>y
quindi x=y+k con k positivo.
quindi abbiamo che $ 2kx+k^2 $ decresce al diminuire di k...evidentemente sarà minimo con k=0 ovvero quando i due numeri sono uguali.